Mostre que, em um sistema de coordenadas destrógiro 𝑖×𝑖=𝑗×𝑗=𝑘×𝑘=0 e 𝑖×𝑗=𝑘; 𝑘×𝑖=𝑗; 𝑗×𝑘=𝑖. Os resultados serão diferentes se o sistema de coordenadas for retangular mas não destrógiro?

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, em um sistema de coordenadas destrógiro (isto é, de “mão direita”) com eixos ortonormais (\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}), que
\mathbf{i}\times\mathbf{i}=\mathbf{j}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}\times\mathbf{k}=0, \quad \mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}, \quad \mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j}, \quad \mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i}.
Em seguida, pergunta-se se esses resultados mudam se o sistema for retangular (eixos ortogonais e de mesmo comprimento) mas não destrógiro (isto é, de “mão esquerda”). Para resolver vamos usar as propriedades fundamentais do produto vetorial e sua expressão em determinante.

Passo 2

O produto vetorial é bilinear e antissimétrico. Em particular, para qualquer vetor \mathbf{v} vale
\mathbf{v}\times\mathbf{v}=0
porque a antissimetria implica \mathbf{v}\times\mathbf{v}=-\,\mathbf{v}\times\mathbf{v}, logo só pode ser o vetor zero. Aplicando a \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} obtemos
\mathbf{i}\times\mathbf{i}=0, \quad \mathbf{j}\times\mathbf{j}=0, \quad \mathbf{k}\times\mathbf{k}=0.

Passo 3

Para calcular \mathbf{i}\times\mathbf{j} usamos a definição por determinante
\mathbf{i}\times\mathbf{j} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&0&0\\\\ 0&1&0 \end{vmatrix} =\;1\cdot\mathbf{k}-0\cdot\mathbf{(\cdots)}+\cdots =\mathbf{k}.

Passo 4

Como o produto vetorial em um sistema destrógiro satisfaz a regra cíclica, os outros dois produtos que se seguem ciclicamente também dão
\mathbf{j}\times\mathbf{k} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&1 \end{vmatrix} =\mathbf{i}, \qquad \mathbf{k}\times\mathbf{i} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 0&0&1\\\\ 1&0&0 \end{vmatrix} =\mathbf{j}.

Passo 5

Se o sistema for retangular mas não destrógiro (ou seja, for de mão esquerda), a única diferença na definição por determinante é que a base (\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}) muda de orientação. Isso inverte o sinal de qualquer produto vetorial. Portanto, em sistema de mão esquerda teríamos
\mathbf{i}\times\mathbf{j}=-\mathbf{k}, \quad \mathbf{j}\times\mathbf{k}=-\mathbf{i}, \quad \mathbf{k}\times\mathbf{i}=-\mathbf{j}.

Resposta

Sim. Em um sistema retangular mas de mão esquerda todos os produtos cíclicos mudam de sinal: em vez de \mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k} aparece \mathbf{i}\times\mathbf{j}=-\mathbf{k}, e análogas alterações para \mathbf{j}\times\mathbf{k} e \mathbf{k}\times\mathbf{i}.

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