Mostre que, em um sistema de coordenadas destrógiro 𝑖×𝑖=𝑗×𝑗=𝑘×𝑘=0 e 𝑖×𝑗=𝑘; 𝑘×𝑖=𝑗; 𝑗×𝑘=𝑖. Os resultados serão diferentes se o sistema de coordenadas for retangular mas não destrógiro?
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, em um sistema de coordenadas destrógiro (isto é, de “mão direita”) com eixos ortonormais (\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}), que
Em seguida, pergunta-se se esses resultados mudam se o sistema for retangular (eixos ortogonais e de mesmo comprimento) mas não destrógiro (isto é, de “mão esquerda”). Para resolver vamos usar as propriedades fundamentais do produto vetorial e sua expressão em determinante.
Passo 2
O produto vetorial é bilinear e antissimétrico. Em particular, para qualquer vetor \mathbf{v} vale
\mathbf{v}\times\mathbf{v}=0
porque a antissimetria implica \mathbf{v}\times\mathbf{v}=-\,\mathbf{v}\times\mathbf{v}, logo só pode ser o vetor zero. Aplicando a \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} obtemos
Se o sistema for retangular mas não destrógiro (ou seja, for de mão esquerda), a única diferença na definição por determinante é que a base (\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}) muda de orientação. Isso inverte o sinal de qualquer produto vetorial. Portanto, em sistema de mão esquerda teríamos
Sim. Em um sistema retangular mas de mão esquerda todos os produtos cíclicos mudam de sinal: em vez de \mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k} aparece \mathbf{i}\times\mathbf{j}=-\mathbf{k}, e análogas alterações para \mathbf{j}\times\mathbf{k} e \mathbf{k}\times\mathbf{i}.