Mostre que a solução geral de:
X^prime=(lll 0 & 6 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ) X
no intervalo (-infty,+infty) é:
X=c1(r 6 -1 -5 ) e^-t+c2(r -3 1 1 ) e^-2 t+c3(l 2 1 1 ) e^-3 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações diferenciais lineares da forma , onde é uma matriz . Nosso objetivo é mostrar que a solução geral desse sistema é uma combinação linear de três soluções específicas envolvendo exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores de matrizes, que são fundamentais para resolver sistemas lineares como esse.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, calculamos o polinômio característico, que é dado por:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = -lambda & 6 & 0 1 & -lambda & 1 1 & 1 & -lambda :
det(A - lambda I) = -lambda -lambda & 1 1 & -lambda - 6 1 & 1 1 & -lambda + 0 = -lambda [lambda^2 - 1] - 6[-lambda - 1]
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
-lambda^3 + lambda - 6(-lambda - 1) = -lambda^3 + lambda + 6lambda + 6 = -lambda^3 + 7lambda + 6
Simplificando:
-lambda^3 + 7lambda + 6 = 0 Rightarrow lambda^3 - 7lambda - 6 = 0
Então, o polinômio característico é:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação (-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0 para encontrar os autovalores. Vamos tentar encontrar raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando lambda^3 - 7lambda - 6 = (lambda + 1)(lambda^2 - lambda - 6) :
lambda = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52 Rightarrow lambda1 = 3, lambda2 = -2
Então, é uma raiz. Fazemos a divisão polinomial para fatorar o polinômio:
Agora, resolvemos :
Então, os autovalores são , , e .

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada A - (-1)I = A + I = 1 & 6 & 0 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 , resolvemos 6 -1 -5 .
Para A - (-2)I = A + 2I = 2 & 6 & 0 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 :
-3 1 1
Resolvendo o sistema, encontramos um autovetor A - (-3)I = A + 3I = 3 & 6 & 0 1 & 3 & 1 1 & 1 & 3 .
Para 2 1 1 :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .

Passo 6

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada componente da solução será do tipo X(t) = c1 6 -1 -5 e^-t + c2 -3 1 1 e^-2t + c3 2 1 1 e^-3t , onde é o autovetor e o correspondente autovalor.
Portanto, a solução geral é:
onde , e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
X(t) = c1 6 -1 -5 e^-t + c2 -3 1 1 e^-2t + c3 2 1 1 e^-3t

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