Determine a massa dos seguintes sólidos:
(4.3) limitado pelas esferas x^2 + y^2 + z^2 = a^2 e x^2 + y^2 + z^2 = 4 a^2, sendo a densidade em cada ponto proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem do sistema de coordenadas, assumindo valor máximo sigma_0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a massa de um sólido que está entre duas esferas: uma com equação e outra com . A densidade desse sólido varia e é proporcional ao quadrado da distância de cada ponto até a origem, com um valor máximo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as esferas. A equação representa uma esfera com raio , e é uma esfera com raio (porque ). Então, o sólido que estamos considerando é o espaço entre essas duas esferas, também conhecido como casca esférica.

Passo 3

A densidade em cada ponto desse sólido é proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem. Vamos expressar isso matematicamente. A distância de um ponto até a origem é . Então, a densidade pode ser escrita como:
onde é a constante de proporcionalidade que vamos determinar sabendo que a densidade máxima é . Como o máximo ocorre na esfera de maior raio ( ):
Então, a densidade é:

Passo 4

Agora, para encontrar a massa do sólido, precisamos integrar essa densidade sobre o volume do sólido. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por:
Então, a massa é:

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Depois, em relação a :
E finalmente, em relação a :

Passo 6

Agora, juntando tudo:
Simplificando:

Resposta

A massa do sólido é:

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