Determine a massa dos seguintes sólidos:
(4.3) limitado pelas esferas
e
, sendo a densidade em cada ponto proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem do sistema de coordenadas, assumindo valor máximo
(4.3) limitado pelas esferas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a massa de um sólido que está entre duas esferas: uma com equação
e outra com
. A densidade desse sólido varia e é proporcional ao quadrado da distância de cada ponto até a origem, com um valor máximo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as esferas. A equação
representa uma esfera com raio
, e
é uma esfera com raio
(porque
). Então, o sólido que estamos considerando é o espaço entre essas duas esferas, também conhecido como casca esférica.
Passo 3
A densidade
em cada ponto desse sólido é proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem. Vamos expressar isso matematicamente. A distância de um ponto
até a origem é
. Então, a densidade pode ser escrita como:
onde
é a constante de proporcionalidade que vamos determinar sabendo que a densidade máxima é
. Como o máximo ocorre na esfera de maior raio (
):
Então, a densidade é:
Passo 4
Agora, para encontrar a massa do sólido, precisamos integrar essa densidade sobre o volume do sólido. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume
é dado por:
Então, a massa
é:
Passo 5
Vamos simplificar a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Depois, em relação a
:
E finalmente, em relação a
:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Simplificando:
Resposta
A massa do sólido é: