Sejam
e
dois números naturais com
. Então, existe um número natural
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá as informações seguintes:
-
e são números naturais. -
.
O que é pedido:
- Mostrar que existe um número natural
tal que .
Passo 2
Pequena explicação do que é relevante aqui (sem ainda resolver): a potência
significa multiplicar
por si mesmo
vezes, com a convenção
. Como
é natural e
, temos
. A estratégia será comparar
com uma função simples de
(por exemplo
) e provar que
cresce pelo menos tão rápido quanto essa função simples; isso permitirá ultrapassar qualquer
.
Passo 3
Vamos provar a desigualdade auxiliar
Isto dá uma estimativa mínima do crescimento de
. A demonstração será por indução em
.
Passo 4
Base da indução: para
tem-se
logo a desigualdade vale quando
.
Passo 5
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Então, usando que
,
Agora observe que
pois
. Assim
o que mostra que a desigualdade vale para
. Pelo princípio da indução, a desigualdade
vale para todo
.
Passo 6
Conseqüência prática da desigualdade: para qualquer inteiro natural
e para
obtemos
Portanto, para cada
existe um
(por exemplo
) tal que
.
Resposta
Existe tal
; por exemplo,
funciona, pois
.