Sejam a e m dois números naturais com a>1. Então, existe um número natural n tal que a^{n}>m.

Passo 1

O enunciado dá as informações seguintes:
  • a e m são números naturais.
  • a>1.
O que é pedido:
  • Mostrar que existe um número natural n tal que a^{n}>m.

Passo 2

Pequena explicação do que é relevante aqui (sem ainda resolver): a potência a^{n} significa multiplicar a por si mesmo n vezes, com a convenção a^{0}=1. Como a é natural e a>1, temos a\ge 2. A estratégia será comparar a^{n} com uma função simples de n (por exemplo n+1) e provar que a^{n} cresce pelo menos tão rápido quanto essa função simples; isso permitirá ultrapassar qualquer m.

Passo 3

Vamos provar a desigualdade auxiliar
a^{n}\ge n+1\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Isto dá uma estimativa mínima do crescimento de a^{n}. A demonstração será por indução em n.

Passo 4

Base da indução: para n=0 tem-se
a^{0}=1=0+1,
logo a desigualdade vale quando n=0.

Passo 5

Passo indutivo: suponha que para algum k\in\mathbb{N} valha
a^{k}\ge k+1.
Então, usando que a\ge 2,
a^{k+1}=a\cdot a^{k}\ge 2\cdot (k+1).
Agora observe que
2\cdot (k+1)=2k+2\ge k+2,
pois 2k+2-(k+2)=k\ge 0. Assim
a^{k+1}\ge k+2,
o que mostra que a desigualdade vale para k+1. Pelo princípio da indução, a desigualdade \,a^{n}\ge n+1\, vale para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 6

Conseqüência prática da desigualdade: para qualquer inteiro natural m e para n=m obtemos
a^{m}\ge m+1>m.
Portanto, para cada m existe um n (por exemplo n=m) tal que a^{n}>m.

Resposta

Existe tal n; por exemplo, n=m funciona, pois a^{m}\ge m+1>m.

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