Mostre que a substituição z=a x+b y+c transforma a equação y^{\prime}=f(a x+b y+c) numa equação de variáveis separáveis. Aplique esse método para resolver as equações
(a) y^{\prime}=(x+y)^{2}
(b) y^{\prime}=\operatorname{sen}^{2}(x-y+1)
(c) (x+2 y-1) d x+3(x+2 y) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede mostrar que a substituição
z = a\,x + b\,y + c
transforma a equação
y' = f\bigl(a\,x + b\,y + c\bigr)
numa equação de variáveis separáveis. Depois disso, aplicar esse método para resolver:
(a) y' = (x+y)^{2}
(b) y' = \sin^{2}(x - y + 1)
(c) (x+2y-1)\,dx + 3(x+2y)\,dy = 0

Passo 2

Para a demonstração geral, definimos
z = a\,x + b\,y + c.
Derivando em relação a x,
\frac{dz}{dx} = a + b\,\frac{dy}{dx} = a + b\,y'.
Logo
y' = \frac{1}{b}\Bigl(\frac{dz}{dx} - a\Bigr).
Substituindo em y' = f(z), obtemos
\frac{1}{b}\Bigl(\frac{dz}{dx} - a\Bigr) = f(z) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dz}{dx} = a + b\,f(z),
que é separável:
\frac{dz}{a + b\,f(z)} = dx.

Passo 3

(a) y' = (x+y)^{2}.
Escolha z = x+y. Então
\frac{dz}{dx} = 1 + y',
logo
1 + y' = z^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dz}{dx} = z^{2} + 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dz}{z^{2}+1} = dx.
Integrando,
\arctan(z) = x + C.
Substituindo z=x+y dá a solução.

Passo 4

(b) y' = \sin^{2}(x - y + 1).
Escolha z = x - y + 1. Então
\frac{dz}{dx} = 1 - y' \quad\Longrightarrow\quad y' = 1 - \frac{dz}{dx}.
Substituindo,
1 - \frac{dz}{dx} = \sin^{2}z \quad\Longrightarrow\quad \frac{dz}{dx} = 1 - \sin^{2}z = \cos^{2}z \quad\Longrightarrow\quad \frac{dz}{\cos^{2}z} = dx.
Integrando,
\tan(z) = x + C.
Substitua z = x - y + 1.

Passo 5

(c) (x+2y-1)\,dx + 3(x+2y)\,dy = 0.
Reescreva como
\frac{dy}{dx} = -\frac{x+2y-1}{3(x+2y)}.
Escolha z = x + 2y. Então
\frac{dz}{dx} = 1 + 2\frac{dy}{dx} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{dz}{dx} - 1\Bigr).
Igualando às duas expressões de dy/dx:
\frac{1}{2}\Bigl(\frac{dz}{dx} - 1\Bigr) = -\frac{z-1}{3z} \;\Longrightarrow\; \frac{dz}{dx} = \frac{z+2}{3z} \;\Longrightarrow\; dx = \frac{3z}{z+2}\,dz.
Integre
x = 3\int\frac{z}{z+2}\,dz + C = 3\bigl(z - 2\ln|z+2|\bigr) + C.
Substitua z = x + 2y e reorganize para obter a solução implícita.

Resposta

(a) \displaystyle \arctan(x+y) = x + C.
(b) \displaystyle \tan\bigl(x - y + 1\bigr) = x + C.
(c) \displaystyle x + 3y \;-\; 3\ln\bigl|x+2y+2\bigr| = C.

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