Mostre que a superposição das duas ondas eletromagnéticas cujos seus campos elétricos são dados por: E 1=E0 cos (k y-omega t) k e E 2=E0 sen(k y-omega t) i resultam em uma onda plana, monocromática, e com polarização circular para direita (horário).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra mostrar que, somando duas ondas eletromagnéticas com
E₁ = E₀ cos(ky – ωt)\hat{k}
E₂ = E₀ sen(ky – ωt)\hat{i}
a gente obtém uma onda plana, monocromática e polarizada circularmente à direita (horário).
Conteúdo: Superposição de ondas, ondas planas e polarização. Vamos precisar:
  • Somar vetorialmente E₁ e E₂.
  • Verificar que a magnitude de E resultante é constante (monocromática e de onda plana).
  • Mostrar que a ponta do vetor E descreve um círculo e roda no sentido horário (polarização circular à direita).

Passo 2

Escrevendo o campo elétrico total:
E(𝐫,t) = E₁ + E₂
= E₀ sen(ky – ωt),\hat{i} + E₀ cos(ky – ωt),\hat{k}.
Então, nos eixos x (i) e z (k) temos:
Ex = E₀ senψ
Ez = E₀ cosψ
com ψ := ky – ωt.

Passo 3

Agora, teoria de onda plana e monocromática:
• Onda plana porque E só depende da combinação (ky – ωt), ou seja, superfícies de fase são planos y=const.
• Monocromática porque só existe uma frequência ω.
• Magnitude constante:
|E|² = Ex² + Ez² = E₀² sen²ψ + E₀² cos²ψ = E₀²( sen²ψ + cos²ψ ) = E₀².
Logo, a amplitude é sempre E₀, independente de ψ.

Passo 4

Trajetória do vetor E no plano x–z:
Como Ex = E₀ senψ e Ez = E₀ cosψ, a ponta de E satisfaz
(Ex/E₀)² + (Ez/E₀)² = sen²ψ + cos²ψ = 1,
ou seja, descreve um círculo de raio E₀.

Passo 5

Sentido de rotação (polarização circular à direita):
ψ = ky – ωt diminui quando o tempo t aumenta (k y é fixo num ponto y).
Num observador olhando no sentido da propagação (+y), a fase ψ “anda para trás”,
e o vetor E gira no sentido horário. Segundo a convenção de polarização,
essas duas componentes com defasagem de –π/2 entre si (Ex defasado em –π/2 em relação a Ez)
dão polarização circular à direita (sentido horário).

Resposta

A superposição E = E₀[sen(ky – ωt),\hat{i} + cos(ky – ωt),\hat{k}] é uma onda plana (depende só de ky–ωt),
monocromática (única frequência ω) e com amplitude constante E₀. A ponta do vetor E descreve um círculo
no plano x–z e gira no sentido horário, isto é, polarização circular para a direita.

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