Mostre que
\tan (i z)=i \operatorname{tanh} z ou equivalentemente, \operatorname{tanh} (i z)=i \tan z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a relação entre as funções trigonométricas e hiperbólicas em argumentos imaginários, isto é, provar que
\tan(i z)=i\,\operatorname{tanh} z
e, de forma equivalente,
\operatorname{tanh}(i z)=i\,\tan z.
Vamos usar as definições de \tan e \operatorname{tanh} em termos de \sin,\cos e \operatorname{sinh},\operatorname{cosh}, além das fórmulas de seno e cosseno para argumento puramente imaginário.

Passo 2

Relembramos as definições
\tan w = \frac{\sin w}{\cos w}, \qquad \operatorname{tanh} w = \frac{\operatorname{sinh} w}{\operatorname{cosh} w}.

Passo 3

Usamos as identidades conhecidas para seno e cosseno com argumento imaginário:
\sin(i z)=i\,\operatorname{sinh} z, \qquad \cos(i z)=\operatorname{cosh} z.

Passo 4

Substituindo em \tan(i z):
\tan(i z) = \frac{\sin(i z)}{\cos(i z)} = \frac{i\,\operatorname{sinh} z}{\operatorname{cosh} z} = i\,\frac{\operatorname{sinh} z}{\operatorname{cosh} z} = i\,\operatorname{tanh} z.

Passo 5

Para obter a forma equivalente, trocamos z por i z em \operatorname{tanh}:
\operatorname{tanh}(i z) = \frac{\operatorname{sinh}(i z)}{\operatorname{cosh}(i z)} = \frac{i\,\sin z}{\cos z} = i\,\tan z.

Resposta

\tan(i z)=i\,\operatorname{tanh} z \operatorname{tanh}(i z)=i\,\tan z

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