Mostre que
\sin (i z)=i \operatorname{sinh} z ou equivalentemente, \operatorname{sinh} i z=i \sin z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade entre as funções trigonométrica e hiperbólica em argumentos imaginários, ou seja, provar que
\sin(i z)=i\,\operatorname{sinh} z
e, de forma equivalente,
\operatorname{sinh}(i z)=i\,\sin z.
O conteúdo que vamos usar são as definições em termos de exponenciais de \sin e de \operatorname{sinh}.

Passo 2

Lembremos das definições via exponenciais:
\sin w = \frac{e^{i w}-e^{-\,i w}}{2\,i}, \qquad \operatorname{sinh} w = \frac{e^{w}-e^{-\,w}}{2}.

Passo 3

Aplique w = i z na definição de \sin w:
\sin(i z) = \frac{e^{\,i\,(i z)} - e^{-\,i\,(i z)}}{2\,i} = \frac{e^{-\,z} - e^{\,z}}{2\,i}.

Passo 4

Reescrevendo o numerador em ordem crescente de potências e extraindo um fator -1, temos
\sin(i z) = \frac{-(e^{\,z}-e^{-\,z})}{2\,i} = -\frac{1}{2\,i}\,(e^{\,z}-e^{-\,z}).
Como \displaystyle -\frac{1}{i} = i, segue
-\frac{1}{2\,i} = \frac{i}{2},
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\sin(i z) = \frac{i}{2}\,(e^{\,z}-e^{-\,z}) = i\,\operatorname{sinh} z.

Passo 5

Para ver a identidade equivalente, aplique w = i z na definição de \operatorname{sinh} w:
\operatorname{sinh}(i z) = \frac{e^{\,i z}-e^{-\,i z}}{2} = i\;\frac{e^{\,i z}-e^{-\,i z}}{2\,i} = i\,\sin z.

Resposta

\displaystyle \sin(i z)=i\,\operatorname{sinh} z
e \displaystyle \operatorname{sinh}(i z)=i\,\sin z.

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