Mostre que se a taxa de amostragem for igual ou maior que duas vezes a maior frequência da mensagem, a mensagem
pode ser recuperada a partir do sinal com amostragem natural
utilizando um filtro passa-baixa.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao amostrar naturalmente uma mensagem
com uma taxa de amostragem
(período
) maior ou igual a duas vezes a maior frequência presente em
, é possível recuperar exatamente
a partir do sinal amostrado
usando um filtro passa-baixa ideal. O conteúdo aqui é o Teorema da Amostragem de Shannon para amostragem natural e a recuperação via filtragem em frequência.
Passo 2
Escrevemos o trem de impulsos de amostragem como
Então
No domínio da frequência (CTFT), temos
onde
. Pela propriedade de multiplicação no tempo, o espectro de
é convolução de
com
.
Passo 3
Fazendo a convolução, obtemos
Ou seja, o espectro de
é replicado em torno de múltiplos inteiros de
.
Passo 4
Se
é limitado em banda a
(onde
) e se
então essas réplicas não se sobrepõem (não há aliasing). Isso é justo a condição
.
Passo 5
Agora projetamos
O fator
na soma. A saída em frequência é
Passo 6
Tomando a transformada inversa, recuperamos no tempo
Em outras palavras, o filtro ideal passa-baixa com resposta ao impulso
reconstrói exatamente
.
Resposta
Mostramos que, quando a taxa de amostragem satisfaz
, as réplicas espectrais não se sobrepõem e um filtro passa-baixa ideal com ganho
e largura de banda
recupera perfeitamente
.