Mostre que se a taxa de amostragem for igual ou maior que duas vezes a maior frequência da mensagem, a mensagem \mathrm{m}(t) pode ser recuperada a partir do sinal com amostragem natural \mathrm{X}_{\text {PAM }}(t) utilizando um filtro passa-baixa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao amostrar naturalmente uma mensagem m(t) com uma taxa de amostragem f_s (período T=1/f_s) maior ou igual a duas vezes a maior frequência presente em m(t), é possível recuperar exatamente m(t) a partir do sinal amostrado
x_{\mathrm{PAM}}(t)=m(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)
usando um filtro passa-baixa ideal. O conteúdo aqui é o Teorema da Amostragem de Shannon para amostragem natural e a recuperação via filtragem em frequência.

Passo 2

Escrevemos o trem de impulsos de amostragem como
s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT).
Então
x_{\mathrm{PAM}}(t)=m(t)\,s(t).
No domínio da frequência (CTFT), temos
S(\Omega)=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\bigl(\Omega-k\Omega_s\bigr),
onde \Omega_s=2\pi f_s. Pela propriedade de multiplicação no tempo, o espectro de x_{\mathrm{PAM}}(t) é convolução de M(\Omega) com S(\Omega).

Passo 3

Fazendo a convolução, obtemos
X_{\mathrm{PAM}}(\Omega) =\frac{1}{2\pi}\bigl(M * S\bigr)(\Omega) =\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}M\bigl(\Omega-k\Omega_s\bigr).
Ou seja, o espectro de m(t) é replicado em torno de múltiplos inteiros de \Omega_s.

Passo 4

Se m(t) é limitado em banda a \lvert\Omega\rvert\le\Omega_m (onde \Omega_m=2\pi f_m) e se
\Omega_s \;\ge\;2\,\Omega_m,
então essas réplicas não se sobrepõem (não há aliasing). Isso é justo a condição f_s\ge2f_m.

Passo 5

Agora projetamos X_{\mathrm{PAM}}(\Omega)\) por um filtro passa-baixa ideal de ganho \(H(\Omega)\) tal que \[H(\Omega)= \begin{cases} T, & \lvert\Omega\rvert\le\Omega_m,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}
O fator T\] é escolhido para compensar o \(1/T na soma. A saída em frequência é
Y(\Omega)=H(\Omega)\,X_{\mathrm{PAM}}(\Omega) =T\cdot\frac{1}{T}\,M(\Omega)=M(\Omega), \qquad\lvert\Omega\rvert\le\Omega_m.

Passo 6

Tomando a transformada inversa, recuperamos no tempo
y(t)=m(t).
Em outras palavras, o filtro ideal passa-baixa com resposta ao impulso h(t)=\frac{\sin(\Omega_m t)}{\pi t} reconstrói exatamente m(t).

Resposta

Mostramos que, quando a taxa de amostragem satisfaz f_s\ge2f_m, as réplicas espectrais não se sobrepõem e um filtro passa-baixa ideal com ganho T e largura de banda \Omega_m=2\pi f_m recupera perfeitamente m(t).

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