5.3 Mostre que para uma tensão que possui uma componente CC e outra CA, o valor eficaz da mesma pode ser calculado como:
V_{e f}=\sqrt{V_{C C}^{2}+V_{e f C A}^{2}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (já peguei os símbolos do enunciado):
  • Há uma tensão composta por uma componente contínua (DC) e uma componente alternada (AC). Vou chamar a tensão total de v(t).
  • A componente contínua é V_{C C} (valor constante no tempo).
  • A componente alternada é v_{C A}(t). Por definição usual de “componente CA” em eletrônica, assumimos que essa componente tem média zero ao longo de um período, ou seja, \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{0}^{T} v_{C A}(t)\,dt=0.
  • O enunciado pede para mostrar que o valor eficaz (RMS, “valor eficaz”) da tensão total satisfaz
V_{e f}=\sqrt{V_{C C}^{2}+V_{e f\,C A}^{2}}.

Passo 2

Definição de valor eficaz (RMS) e notação — vamos clarear tudo:
  • A tensão total é
v(t)=V_{C C}+v_{C A}(t).
Aqui V_{C C} é uma constante (a componente DC) e v_{C A}(t) é a parte alternada dependente de t.
  • O valor eficaz V_{e f} de um sinal periódico v(t) com período T é definido por
V_{e f}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T} v^{2}(t)\,dt }.
Nesta fórmula, T é o período do sinal (se o sinal for não periódico, usa-se a média de tempo apropriada; aqui consideramos o caso periódico padrão).

Passo 3

Expandir v^{2}(t) para ver as contribuições:
v^{2}(t)=\bigl(V_{C C}+v_{C A}(t)\bigr)^{2}=V_{C C}^{2}+2V_{C C}\,v_{C A}(t)+v_{C A}^{2}(t).
Essa expansão usa a identidade (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Cada termo tem um significado físico:
  • V_{C C}^{2} é a contribuição fixa da componente DC ao quadrado.
  • 2V_{C C}\,v_{C A}(t) é o termo misto que envolve produto DC·AC.
  • v_{C A}^{2}(t) é a contribuição puramente AC ao quadrado.

Passo 4

Calcular V_{e f}^{2} integrando termo a termo:
V_{e f}^{2}=\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T} v^{2}(t)\,dt =\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}\Bigl(V_{C C}^{2}+2V_{C C}\,v_{C A}(t)+v_{C A}^{2}(t)\Bigr)\,dt.
Como a integração é linear, isso é
V_{e f}^{2}= \dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}V_{C C}^{2}\,dt \;+\; \dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}2V_{C C}\,v_{C A}(t)\,dt \;+\; \dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}v_{C A}^{2}(t)\,dt.

Passo 5

Avaliar cada integral cuidadosamente:
  • Primeiro termo:
\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}V_{C C}^{2}\,dt = \dfrac{1}{T}\bigl(V_{C C}^{2}\,T\bigr)=V_{C C}^{2},
pois V_{C C}^{2} é constante.
  • Segundo termo (o termo misto):
\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}2V_{C C}\,v_{C A}(t)\,dt = 2V_{C C}\cdot\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}v_{C A}(t)\,dt.
Mas assumimos que a componente AC tem média zero, isto é,
\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}v_{C A}(t)\,dt=0.
Portanto o termo misto é zero:
\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}2V_{C C}\,v_{C A}(t)\,dt = 0.
  • Terceiro termo:
\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}v_{C A}^{2}(t)\,dt
é exatamente o quadrado do valor eficaz da componente AC. Ou seja, definindo V_{e f\,C A} como o RMS da parte alternada,
V_{e f\,C A}^{2}=\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}v_{C A}^{2}(t)\,dt.

Passo 6

Juntando os resultados:
V_{e f}^{2}=V_{C C}^{2}+0+V_{e f\,C A}^{2}=V_{C C}^{2}+V_{e f\,C A}^{2}.
Tomando raiz positiva (o valor eficaz é não negativo),
V_{e f}=\sqrt{V_{C C}^{2}+V_{e f\,C A}^{2}}.
Isso é exatamente a fórmula a ser mostrada.

Passo 7

Observações didáticas e exemplos rápidos (para fixar):
  • A hipótese crucial foi que a componente alternada tem média zero. Se a parte alternada tivesse média diferente de zero, essa média se incorporaria ao termo V_{C C} (ou haveria um termo misto não nulo) e a fórmula mudaria.
  • Exemplo concreto: para v(t)=V_{C C}+V_{m}\cos(\omega t), a componente AC tem RMS V_{e f\,C A}=V_{m}/\sqrt{2}. Assim
V_{e f}=\sqrt{V_{C C}^{2}+\Bigl(\dfrac{V_{m}}{\sqrt{2}}\Bigr)^{2}} =\sqrt{V_{C C}^{2}+\dfrac{V_{m}^{2}}{2}}.
  • Intuição física: energia média (ou potência dissipada em resistência) é proporcional a v^{2} médio. A contribuição total de potência é soma da contribuição DC com a contribuição AC (como aparecem quadráticamente) porque o termo cruzado média-se a zero quando a AC tem média zero.

Resposta

V_{e f}=\sqrt{V_{C C}^{2}+V_{e f\,C A}^{2}}

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