5.3 Mostre que para uma tensão que possui uma componente CC e outra CA, o valor eficaz da mesma pode ser calculado como:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (já peguei os símbolos do enunciado):
- Há uma tensão composta por uma componente contínua (DC) e uma componente alternada (AC). Vou chamar a tensão total de
. - A componente contínua é
(valor constante no tempo). - A componente alternada é
. Por definição usual de “componente CA” em eletrônica, assumimos que essa componente tem média zero ao longo de um período, ou seja, . - O enunciado pede para mostrar que o valor eficaz (RMS, “valor eficaz”) da tensão total satisfaz
Passo 2
Definição de valor eficaz (RMS) e notação — vamos clarear tudo:
- A tensão total é
Aqui
é uma constante (a componente DC) e
é a parte alternada dependente de
.
- O valor eficaz
de um sinal periódico com período é definido por
Nesta fórmula,
é o período do sinal (se o sinal for não periódico, usa-se a média de tempo apropriada; aqui consideramos o caso periódico padrão).
Passo 3
Expandir
para ver as contribuições:
Essa expansão usa a identidade
. Cada termo tem um significado físico:
-
é a contribuição fixa da componente DC ao quadrado. -
é o termo misto que envolve produto DC·AC. -
é a contribuição puramente AC ao quadrado.
Passo 4
Calcular
integrando termo a termo:
Como a integração é linear, isso é
Passo 5
Avaliar cada integral cuidadosamente:
- Primeiro termo:
pois
é constante.
- Segundo termo (o termo misto):
Mas assumimos que a componente AC tem média zero, isto é,
Portanto o termo misto é zero:
- Terceiro termo:
é exatamente o quadrado do valor eficaz da componente AC. Ou seja, definindo
como o RMS da parte alternada,
Passo 6
Juntando os resultados:
Tomando raiz positiva (o valor eficaz é não negativo),
Isso é exatamente a fórmula a ser mostrada.
Passo 7
Observações didáticas e exemplos rápidos (para fixar):
- A hipótese crucial foi que a componente alternada tem média zero. Se a parte alternada tivesse média diferente de zero, essa média se incorporaria ao termo
(ou haveria um termo misto não nulo) e a fórmula mudaria. - Exemplo concreto: para
, a componente AC tem RMS . Assim
- Intuição física: energia média (ou potência dissipada em resistência) é proporcional a
médio. A contribuição total de potência é soma da contribuição DC com a contribuição AC (como aparecem quadráticamente) porque o termo cruzado média-se a zero quando a AC tem média zero.