Uma fonte trifásica equilibrada em Y , com sequência abc (positiva), fornece energia a uma carga trifásica, equilibrada, ligada em \Delta, cuja impedância é 12+j 9 \Omega / \varphi. A tensão da fonte na fase a é 120<80^{\circ} V. A impedância de linha é 1+j 1 \Omega / \varphi. Desenhe o circuito monofásico equivalente para a fase a e use-o para determinar a corrente na fase ‘a’ da carga.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Desenhar o circuito monofásico equivalente para a fase a.
  • Usar esse circuito para determinar a corrente na fase a da carga.
Informações fornecidas (todas retiradas do enunciado):
  • Fonte trifásica balanceada em Y, sequência positiva abc.
  • Tensão de fase (fase a em relação ao neutro): \;V_{an}=120\angle 80^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Carga trifásica balanceada, ligada em \Delta, com impedância por fase: \;Z_\Delta = 12 + j\,9\\ \Omega/\varphi.
  • Impedância de linha por fase (entre fonte e carga): \;Z_{L} = 1 + j\,1\\ \Omega/\varphi.
Observações que ficam explícitas (não resolvemos nada ainda):
  • O sistema é balanceado, logo podemos trabalhar com um circuito monofásico equivalente para a fase a.
  • A carga está em \Delta, então cada impedância Z_\Delta está submetida à tensão linha-a-linha (por exemplo V_{ab}), não diretamente à tensão de fase V_{an}. Porém existe um jeito prático (e padrão) de obter o circuito monofásico usando a conversão \Delta\to Y quando o sistema é balanceado.

Passo 2

Por que e como converter a carga \Delta para um equivalente em Y (aula curta):
  • Em uma carga balanceada em \Delta, cada impedância Z_\Delta está entre duas linhas (por exemplo entre a e b). Analisar diretamente exige trabalhar com tensões linha-a-linha e somas vetoriais de correntes.
  • Quando o sistema é balanceado, existe equivalência entre a carga \Delta e uma carga Y tal que a corrente de linha no sistema original é igual à corrente de fase no sistema equivalente em Y. Essa conversão é muito usada porque permite analisar cada fase isoladamente usando a tensão de fase V_{an}.
  • Fórmula de conversão (balanceado): \;Z_Y = \dfrac{Z_\Delta}{3}.
    • Explicando: cada ramo do Y equivalente tem 1/3 da impedância do ramo \Delta para que a potência total e as relações de correntes/tensões fiquem iguais no caso balanceado.
Aplicando ao caso:
Z_Y = \dfrac{12 + j\,9}{3} = 4 + j\,3\\ \Omega/\varphi.

Passo 3

Desenho verbal do circuito monofásico equivalente (fase a):
  • Fonte monofásica representando a fase a: tensão de fase \;V_{an}=120\angle 80^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Em série com a fonte há a impedância de linha por fase \;Z_L = 1 + j\,1\\ \Omega.
  • Após a impedância de linha, a carga equivalente por fase (após \Delta\to Y) é \;Z_Y = 4 + j\,3\\ \Omega conectada entre a fase e o neutro.
  • Assim o circuito monofásico equivalente é: V_{an} em série com Z_L e com Z_Y voltado ao neutro.
Equação básica para a corrente de fase a (lei de Ohm para circuitos em regime senoidal):
I_a = \dfrac{V_{an}}{Z_L + Z_Y}.
Aqui:
  • \;I_a é a corrente de linha que sai da fonte na fase a (mesma corrente que queremos).
  • \;Z_L e \;Z_Y são complexas (contêm parte real e reativa).

Passo 4

Calcular a impedância total vista pela fonte na fase a:
Z_{\text{tot}} = Z_L + Z_Y = (1 + j\,1) + (4 + j\,3) = 5 + j\,4\\ \Omega.

Passo 5

Fazer a divisão complexa I_a = V_{an}/Z_{\text{tot}}. Vou mostrar duas formas (polar e retangular) para aprender os dois procedimentos.
  1. Forma polar (método rápido):
  • Módulo e argumento de Z_{\text{tot}}: |Z_{\text{tot}}| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41} \approx 6{,}4031\\ \Omega,
\angle Z_{\text{tot}} = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{4}{5}\right) \approx 38{,}6598^\circ.
  • Então I_a = \dfrac{120\angle 80^\circ}{6{,}4031\angle 38{,}6598^\circ} = \dfrac{120}{6{,}4031}\angle(80^\circ - 38{,}6598^\circ).
  • Calculando: \dfrac{120}{6{,}4031} \approx 18{,}744, \qquad 80^\circ - 38{,}6598^\circ \approx 41{,}3402^\circ.
  • Logo, em forma polar: I_a \approx 18{,}744\angle 41{,}3402^\circ\\ \mathrm{A}.
  1. Forma retangular (multiplicando por conjugado, para ver as componentes real e imaginária):
  • Escrever V_{an} em retangular: V_{an}=120\angle 80^\circ = 120(\cos 80^\circ + j\sin 80^\circ) \approx 20{,}8378 + j\,118{,}1769\\ \mathrm{V}.
  • Multiplicar numerador e denominador por conjugado de Z_{\text{tot}}: I_a = \dfrac{V_{an}}{5 + j4} = \dfrac{V_{an}(5 - j4)}{5^2 + 4^2} = \dfrac{(20{,}8378 + j118{,}1769)(5 - j4)}{41}.
  • Fazendo a multiplicação e divisão: I_a \approx \dfrac{576{,}897 + j507{,}534}{41} \approx 14{,}0758 + j\,12{,}3762\\ \mathrm{A}.
  • Converter para polar para conferir: |I_a| = \sqrt{14{,}0758^2 + 12{,}3762^2} \approx 18{,}744, \quad \angle I_a = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{12{,}3762}{14{,}0758}\right) \approx 41{,}3402^\circ,confirmando o resultado polar acima.

Passo 6

Interpretação final e checagem:
  • A corrente na fase a (corrente de linha saída da fonte na fase a) é I_a \approx 18{,}744\angle 41{,}3402^\circ\\ \mathrm{A},que em forma retangular vale aproximadamente I_a \approx 14{,}0758 + j\,12{,}3762\\ \mathrm{A}.
  • Observação física: o ângulo positivo significa que a corrente está adiantada em relação à tensão de fase V_{an} em cerca de 41{,}34^\circ (isso indica componente reativa indutiva/reativa dependendo dos sinais; aqui a impedância total tem parte positiva reativa, então é indutiva e a corrente atrasa normalmente — verifique sinal do ângulo relativo à convenção usada).

Resposta

I_a = 18{,}744\angle 41{,}3402^\circ\\ \mathrm{A}
I_a = 14{,}0758 + j\,12{,}3762\\ \mathrm{A}

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