Mostre que, na teoria de Bohr, a energia do fóton ( \mathrm{E}_{1} ) emitido quando o elétron de um átomo de hidrogênio ( \mathrm{z}=1 ) faz uma transição de uma órbita com número quântico n+1 para uma órbita de número quântico n é dado por:
E_{1}=E_{2}\left[\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2} \frac{2 n+1}{2 n-1}\right]
Onde, \mathrm{E}_{2} é a energia do fóton liberado na transição do elétron da órbita n para a órbita n-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar uma relação entre as energias dos fótons emitidos em duas transições vizinhas do átomo de hidrogênio (com z=1). Especificamente:
  • Definir E_{1} como a energia do fóton emitido na transição da órbita de número quântico n+1 para a órbita n.
  • Definir E_{2} como a energia do fóton emitido na transição da órbita n para a órbita n-1.
    O objetivo é provar que
E_{1}=E_{2}\left[\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2}\frac{2n+1}{2n-1}\right].
Informações relevantes dadas ou implicadas:
  • Trata-se do átomo de hidrogênio ( z=1).
  • As energias dos níveis discretos estão disponíveis pela fórmula padrão dos níveis de energia (essa fórmula será usada na resolução).
  • A energia do fóton emitido numa transição é a diferença entre as energias dos níveis inicial e final.

Passo 2

Lembrete fundamental (fórmula que vamos usar) — níveis de energia no modelo de Bohr para hidrogênio:
E_{k} = -\frac{R}{k^{2}},
onde:
  • k é o número quântico principal ( k=1,2,3,\dots);
  • R é a constante de Rydberg em unidades de energia (para hidrogênio R=13{,}6\\ \mathrm{eV}, mas não precisamos do valor numérico para a relação pedida).
    Explicação curta e intuitiva: cada nível k tem energia negativa E_k (ligado ao núcleo). Quando o elétron cai de um nível mais alto para um mais baixo, a diferença E_{\text{inicial}}-E_{\text{final}} é positiva e aparece como energia do fóton emitido.

Passo 3

Escrevendo as energias dos fótons E_{1} e E_{2} como diferenças de níveis usando a fórmula acima:
E_{1}=E_{n+1}-E_{n}=-\frac{R}{(n+1)^{2}}- \left(-\frac{R}{n^{2}}\right)=R\!\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right).
E_{2}=E_{n}-E_{n-1}=-\frac{R}{n^{2}}- \left(-\frac{R}{(n-1)^{2}}\right)=R\!\left(\frac{1}{(n-1)^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right).
Comentário: escrevi as diferenças de modo que E_{1} e E_{2} fiquem explicitamente positivas (energia liberada).

Passo 4

Agora vamos simplificar cada uma das diferenças transformando em frações únicas.
Para E_{1}:
\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}=\frac{(n+1)^{2}-n^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}}=\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
Logo
E_{1}=R\cdot\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
Para E_{2}:
\frac{1}{(n-1)^{2}}-\frac{1}{n^{2}}=\frac{n^{2}-(n-1)^{2}}{n^{2}(n-1)^{2}}=\frac{2n-1}{n^{2}(n-1)^{2}}.
Logo
E_{2}=R\cdot\frac{2n-1}{n^{2}(n-1)^{2}}.

Passo 5

Formar a razão \dfrac{E_{1}}{E_{2}} e simplificar para eliminar R e fatores comuns:
\frac{E_{1}}{E_{2}}=\frac{R\cdot\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}}{R\cdot\frac{2n-1}{n^{2}(n-1)^{2}}} =\frac{2n+1}{2n-1}\cdot\frac{(n-1)^{2}}{(n+1)^{2}}.
Observação: R e o fator n^{2} cancelam-se na razão, ficando apenas a combinação algébrica acima.

Passo 6

A partir da razão encontrada em

Resposta

E_{1}=E_{2}\left[\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2}\frac{2n+1}{2n-1}\right]

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