Mostre que, na teoria de Bohr, a energia do fóton (
) emitido quando o elétron de um átomo de hidrogênio (
) faz uma transição de uma órbita com número quântico
para uma órbita de número quântico
é dado por:
Onde,
é a energia do fóton liberado na transição do elétron da órbita n para a órbita n-1.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar uma relação entre as energias dos fótons emitidos em duas transições vizinhas do átomo de hidrogênio (com
). Especificamente:
- Definir
como a energia do fóton emitido na transição da órbita de número quântico para a órbita . - Definir
como a energia do fóton emitido na transição da órbita para a órbita .
O objetivo é provar que
Informações relevantes dadas ou implicadas:
- Trata-se do átomo de hidrogênio (
). - As energias dos níveis discretos estão disponíveis pela fórmula padrão dos níveis de energia (essa fórmula será usada na resolução).
- A energia do fóton emitido numa transição é a diferença entre as energias dos níveis inicial e final.
Passo 2
Lembrete fundamental (fórmula que vamos usar) — níveis de energia no modelo de Bohr para hidrogênio:
onde:
-
é o número quântico principal ( ); -
é a constante de Rydberg em unidades de energia (para hidrogênio , mas não precisamos do valor numérico para a relação pedida).
Explicação curta e intuitiva: cada níveltem energia negativa (ligado ao núcleo). Quando o elétron cai de um nível mais alto para um mais baixo, a diferença é positiva e aparece como energia do fóton emitido.
Passo 3
Escrevendo as energias dos fótons
e
como diferenças de níveis usando a fórmula acima:
Comentário: escrevi as diferenças de modo que
e
fiquem explicitamente positivas (energia liberada).
Passo 4
Agora vamos simplificar cada uma das diferenças transformando em frações únicas.
Para :
Para
Logo
Para
:
Logo
Passo 5
Formar a razão
e simplificar para eliminar
e fatores comuns:
Observação:
e o fator
cancelam-se na razão, ficando apenas a combinação algébrica acima.
Passo 6
A partir da razão encontrada em