Os olhos humanos são capazes de enxergar a radiação eletromagnética somente na faixa de comprimento de onda entre 380 \mathrm{~nm}-750 \mathrm{~nm} (luz visível). A luz visível é subdividas em faixas que correspondem às cores: violeta (380-450 \mathrm{~nm}), azul (450- 495 \mathrm{~nm}), verde (495-570 \mathrm{~nm}), amarelo (570-590 \mathrm{~nm}), laranja (590-620 \mathrm{~nm}) e vermelho (620-750 \mathrm{~nm}). Considerando as radiações eletromagnéticas emitidas por um átomo de hidrogênio excitado, nas transições eletrônicas da camada (\mathrm{n}=4) para camada (\mathrm{n}=2) e da camada ( \mathrm{n}=4 ) para camada ( \mathrm{n}=1 ), qual das duas é visível aos humanos? Qual é a cor que corresponde à radiação visível? Qual das duas radiações eletromagnética tem uma maior energia? Calcule e justifique todas as respostas.

Passo 1

O enunciado pede que eu compare duas radiações emitidas por um átomo de hidrogênio nas transições eletrônicas:
  • transição de \mathrm{n}=4 para \mathrm{n}=2;
  • transição de \mathrm{n}=4 para \mathrm{n}=1.
As perguntas são, explicitamente:
  1. Qual das duas radiações é visível ao olho humano?
  2. Qual é a cor (faixa espectral) da radiação visível?
  3. Qual das duas radiações tem maior energia?
Informações fornecidas pelo enunciado que vou usar:
  • Faixa da luz visível: 380\\ \mathrm{nm} a 750\\ \mathrm{nm}.
  • Faixas de cor (resumo útil que foi dado):
    • violeta: 380\text{–}450\\ \mathrm{nm},
    • azul: 450\text{–}495\\ \mathrm{nm},
    • verde: 495\text{–}570\\ \mathrm{nm},
    • amarelo: 570\text{–}590\\ \mathrm{nm},
    • laranja: 590\text{–}620\\ \mathrm{nm},
    • vermelho: 620\text{–}750\\ \mathrm{nm}.
Vou calcular os comprimentos de onda das duas transições e as energias correspondentes para determinar visibilidade, cor e qual tem maior energia.

Passo 2

Apresento as fórmulas físicas que vou usar e explico cada símbolo, bem devagarinho.
  1. Fórmula de Rydberg (para comprimento de onda \lambda de uma transição de emissão entre níveis \mathrm{n}_i (inicial, maior) e \mathrm{n}_f (final, menor)):
\frac{1}{\lambda} = R_H\!\left(\frac{1}{\mathrm{n}_f^{2}} - \frac{1}{\mathrm{n}_i^{2}}\right).
Aqui:
  • \lambda é o comprimento de onda da radiação (em metros);
  • R_H é a constante de Rydberg para o hidrogênio, R_H\approx 1,0967758\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1};
  • \mathrm{n}_i é o número quântico inicial (maior);
  • \mathrm{n}_f é o número quântico final (menor).
  1. Relação energia–comprimento de onda:
E = \frac{hc}{\lambda}.
Aqui:
  • E é a energia do fóton (em joules, J);
  • h é a constante de Planck, h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s};
  • c é a velocidade da luz no vácuo, c=2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  1. Forma prática em elétron-volts para hidrogênio (muito conveniente): a energia do nível \mathrm{n} é -\dfrac{13,6\\ \mathrm{eV}}{\mathrm{n}^2}. Assim a energia do fóton emitido na transição \mathrm{n}_i\to\mathrm{n}_f em elétron-volts é
\Delta E(\text{eV}) = 13,6\\ \text{eV}\left(\frac{1}{\mathrm{n}_f^{2}} - \frac{1}{\mathrm{n}_i^{2}}\right).
Isso é prático porque, uma vez achada \Delta E em eV, o comprimento de onda em nm fica aproximadamente
\lambda(\text{nm}) \approx \frac{1240}{\Delta E(\text{eV})},
já que hc\approx1240\\ \text{eV}\cdot\text{nm} (aproximação suficiente para nossos cálculos).
Vou usar essa abordagem (fórmula com 13,6\\ \text{eV}) porque simplifica as contas e é exata para o modelo de Bohr do hidrogênio.

Passo 3

Calcular a energia e o comprimento de onda da transição \mathrm{n}=4 \to \mathrm{n}=2.
  1. Energia do fóton em eV:
\Delta E_{4\to2} = 13,6\\ \text{eV}\left(\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{4^{2}}\right) =13,6\\ \text{eV}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right).
Calculo dentro do parêntese:
\frac{1}{4}-\frac{1}{16}=\frac{4}{16}-\frac{1}{16}=\frac{3}{16}=0{,}1875.
Portanto
\Delta E_{4\to2}=13,6\times0{,}1875=2{,}55\\ \text{eV}.
  1. Comprimento de onda em nm usando \lambda(\text{nm})\approx\frac{1240}{\Delta E(\text{eV})}:
\lambda_{4\to2}\approx\frac{1240}{2{,}55}=486{,}27\\ \mathrm{nm}.
Arredondando de forma razoável: \lambda_{4\to2}\approx486{,}3\\ \mathrm{nm}.
  1. Energia em joules (opcional, para comparar numericamente): 1\\ \text{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}, então
E_{4\to2}=2{,}55\times1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx4{,}09\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Verificar se \lambda_{4\to2} está na faixa visível e identificar a cor.
  • A faixa visível é 380\text{–}750\\ \mathrm{nm}. Encontramos \lambda_{4\to2}\approx486{,}3\\ \mathrm{nm}, que está dentro da faixa visível.
  • Usando as subfaixas fornecidas:
    • azul: 450\text{–}495\\ \mathrm{nm},
    • verde: 495\text{–}570\\ \mathrm{nm}.
Como 486{,}3\\ \mathrm{nm} cai entre 450 e 495\\ \mathrm{nm}, a cor é azul (às vezes chamada de azul-esverdeado ou ciano próximo, mas de acordo com as faixas dadas fica na região azul).

Passo 5

Calcular a energia e o comprimento de onda da transição \mathrm{n}=4 \to \mathrm{n}=1.
  1. Energia do fóton em eV:
\Delta E_{4\to1}=13,6\\ \text{eV}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{4^{2}}\right) =13,6\\ \text{eV}\left(1-\frac{1}{16}\right).
Calculo dentro do parêntese:
1-\frac{1}{16}=\frac{16}{16}-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}=0{,}9375.
Portanto
\Delta E_{4\to1}=13,6\times0{,}9375=12{,}75\\ \text{eV}.
  1. Comprimento de onda em nm:
\lambda_{4\to1}\approx\frac{1240}{12{,}75}=97{,}2549\\ \mathrm{nm}.
Arredondando: \lambda_{4\to1}\approx97{,}3\\ \mathrm{nm}.
  1. Energia em joules:
E_{4\to1}=12{,}75\times1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx2{,}044\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Verificar se \lambda_{4\to1} está na faixa visível.
  • A faixa visível começa em 380\\ \mathrm{nm}. Encontramos \lambda_{4\to1}\approx97{,}3\\ \mathrm{nm}, que é muito menor que 380\\ \mathrm{nm}.
  • Portanto a radiação de \mathrm{n}=4\to\mathrm{n}=1 está no ultravioleta (UV), não é visível ao olho humano.

Passo 7

Comparar energias das duas radiações e justificar qual é maior.
  • Encontramos \Delta E_{4\to2}=2{,}55\\ \text{eV} e \Delta E_{4\to1}=12{,}75\\ \text{eV}.
  • Claramente 12{,}75\\ \text{eV} > 2{,}55\\ \text{eV}, então a transição \mathrm{n}=4\to\mathrm{n}=1 libera muito mais energia.
  • Relação física: energia do fóton é inversamente proporcional ao comprimento de onda ( E=hc/\lambda). A transição 4\to1 tem comprimento de onda menor ( \approx97{,}3\\ \mathrm{nm}), logo energia maior; a transição 4\to2 tem comprimento de onda maior ( \approx486{,}3\\ \mathrm{nm}), logo energia menor.

Passo 8

Resumo interpretativo final (rápido, motivador): a linha \mathrm{n}=4\to\mathrm{n}=2 é uma linha do espectro de Balmer (visível), aparecendo na região azul; a linha \mathrm{n}=4\to\mathrm{n}=1 é da série de Lyman (ultravioleta) e não é visível. A transição para \mathrm{n}=1 envolve a maior queda de energia, por isso produz fótons de energia maior.

Resposta

A radiação visível é a da transição \mathrm{n}=4\to\mathrm{n}=2.
Cor correspondente à radiação visível: azul (aprox. \lambda\approx486{,}3\\ \mathrm{nm}).
A radiação com maior energia é a da transição \mathrm{n}=4\to\mathrm{n}=1 (aprox. 12{,}75\\ \text{eV} contra 2{,}55\\ \text{eV}).

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