Vou listar o que conhecemos/precisamos usar (cada símbolo será definido):
\,T é a temperatura.
s é a entropia específica.
h é a entalpia específica.
c_{p} é a capacidade calorífica específica à pressão constante, definida por \;c_{p}=\left(\dfrac{\partial h}{\partial T}\right)_{p}.
v é o volume específico.
\beta é o coeficiente de expansão térmica isotérmica à pressão constante, definido por \;\beta=\dfrac{1}{v}\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}.
Fórmulas básicas que usarei: a relação fundamental para entalpia diferencial \,dh=T\,ds+v\,dp\, e a relação de Maxwell proveniente da energia livre de Gibbs \,\left(\dfrac{\partial s}{\partial p}\right)_{T}=-\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}.
A partir daqui começo a desenvolver a prova passo a passo.
Passo 2
Usar a relação diferencial de entalpia e escrever ds em termos de dT e dp.
Parto de
dh=T\,ds+v\,dp.
Também sei que s como função de (T,p) tem diferencial