Mostre que
T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{h}=\frac{c_{p}}{1-\beta T}

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que
T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{h}=\frac{c_{p}}{1-\beta T}.
Vou listar o que conhecemos/precisamos usar (cada símbolo será definido):
  • \,T é a temperatura.
  • s é a entropia específica.
  • h é a entalpia específica.
  • c_{p} é a capacidade calorífica específica à pressão constante, definida por \;c_{p}=\left(\dfrac{\partial h}{\partial T}\right)_{p}.
  • v é o volume específico.
  • \beta é o coeficiente de expansão térmica isotérmica à pressão constante, definido por \;\beta=\dfrac{1}{v}\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}.
  • Fórmulas básicas que usarei: a relação fundamental para entalpia diferencial \,dh=T\,ds+v\,dp\, e a relação de Maxwell proveniente da energia livre de Gibbs \,\left(\dfrac{\partial s}{\partial p}\right)_{T}=-\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}.
    A partir daqui começo a desenvolver a prova passo a passo.

Passo 2

Usar a relação diferencial de entalpia e escrever ds em termos de dT e dp.
Parto de
dh=T\,ds+v\,dp.
Também sei que s como função de (T,p) tem diferencial
ds=\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{p}dT+\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T}dp.
Substituo essa expressão de ds na expressão para dh:
dh=T\left[\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{p}dT+\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T}dp\right]+v\,dp.

Passo 3

Usar definições conhecidas para simplificar o dh.
Pelo que foi listado:
\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{p}=\frac{c_{p}}{T} \qquad\text{(definição de \(c_{p}\) e relação termoodinâmica)}çãçãâ
e pela relação de Maxwell
\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T}=-\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}.
Substituindo essas duas equalidades em dh obtenho
dh=c_{p}\,dT+ \Bigl[v - T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}\Bigr] dp.
Esta é uma identidade padrão: \,dh=c_{p}dT+\bigl(v-T(\partial v/\partial T)_{p}\bigr)dp.

Passo 4

Impor condição de processo a entalpia constante e calcular \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_{h}.
Para um processo em que h é constante temos dh=0. Então da expressão do passo anterior:
0=c_{p}\,dT+ \Bigl[v - T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}\Bigr] dp.
Rearranjando para obter a derivada desejada,
\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{h} = -\,\frac{c_{p}}{\,v - T\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}\,}.

Passo 5

Escrever \left(\dfrac{\partial s}{\partial T}\right)_{h} usando regra da cadeia em (T,p).
Como s é função de T e p, a derivada parcial de s em relação a T mantendo h constante pode ser escrita por cadeia:
\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{h} = \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{p} + \left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_{T}\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{h}.
Substituo agora as quantidades conhecidas: \left(\dfrac{\partial s}{\partial T}\right)_{p}=\dfrac{c_{p}}{T}, \left(\dfrac{\partial s}{\partial p}\right)_{T}=-\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{p} e \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_{h} do passo anterior. Assim
\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{h} = \frac{c_{p}}{T} - \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}\left[-\,\frac{c_{p}}{\,v - T\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}\,}\right].

Passo 6

Simplificar a expressão usando a definição de \beta.
Defina a=\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}. Então a expressão do passo anterior fica
\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{h} = \frac{c_{p}}{T} + \frac{c_{p}\,a}{\,v - T a\,}.
Usando a definição \beta=\dfrac{1}{v}a, temos a=\beta v e v - T a = v(1-\beta T). Substituindo:
\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{h} = \frac{c_{p}}{T} + \frac{c_{p}\,\beta v}{v(1-\beta T)} = \frac{c_{p}}{T} + \frac{c_{p}\,\beta}{1-\beta T}.

Passo 7

Fechar a álgebra para obter a forma desejada.
Somando as duas parcelas da expressão anterior e colocando em denominar comum:
\frac{1}{T}+\frac{\beta}{1-\beta T} = \frac{1-\beta T}{T(1-\beta T)}+\frac{\beta T}{T(1-\beta T)} = \frac{1}{T(1-\beta T)}.
Portanto
\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{h}=\frac{c_{p}}{T(1-\beta T)}.
Multiplicando ambos os lados por T resulta exatamente na expressão pedida:
T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{h}=\frac{c_{p}}{1-\beta T}.

Resposta

T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{h}=\frac{c_{p}}{1-\beta T}.

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