Mostre que toda função monótona f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} é integrável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda função monótona f:[a,b]\to\mathbb{R} é integrável. Dados e perguntas claras:
  • Dado: uma função f definida no intervalo fechado e limitado [a,b]. Assume-se a<b.
  • Dado: f é monotona (isto é, monotona crescente ou monotona decrescente) em [a,b].
  • Pedido: provar que f é integrável (no sentido de Riemann) em [a,b].
Vou trabalhar sem assumir nada além disso. A estratégia será usar definições básicas de soma superior e soma inferior (Riemann) e mostrar que a diferença entre soma superior e inferior pode ser tornada arbitrariamente pequena.

Passo 2

Lembrete das definições que vou usar (explicadas com calma).
  • Uma partição P de [a,b] é uma sequência P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\} com a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b.
  • Em cada subintervalo [x_{i-1},x_i] defino
    • M_i=\sup\{f(x)\mid x\in[x_{i-1},x_i]\} (o supremo de f nesse subintervalo);
    • m_i=\inf\{f(x)\mid x\in[x_{i-1},x_i]\} (o ínfimo de f nesse subintervalo).
  • A soma superior de f relativa a P é
U(f,P)=\sum_{i=1}^{n} M_i\,(x_i-x_{i-1}).
  • A soma inferior de f relativa a P é
L(f,P)=\sum_{i=1}^{n} m_i\,(x_i-x_{i-1}).
  • Critério de integrabilidade (definição prática): f é integrável em [a,b] se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe uma partição P tal que
U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon.
Vou mostrar essa condição para qualquer \varepsilon>0.

Passo 3

Primeiro, mostro que f é limitada em [a,b].
  • Se f é monotona crescente, então para todo x\in[a,b] vale f(a)\le f(x)\le f(b). Logo f é limitada (por f(a) e f(b)).
  • Se f é monotona decrescente, então para todo x\in[a,b] vale f(b)\le f(x)\le f(a). Também é limitada.
    Portanto f é sempre limitada em [a,b], então M_i e m_i existem e são finitos para qualquer partição.

Passo 4

Vou tratar o caso de f monotona crescente; o caso decrescente é análogo (basta trocar papéis de extremos). Se f for constante o argumento fica trivial porque então M_i=m_i em cada subintervalo e U(f,P)-L(f,P)=0.
Suponha f crescente. Então, em cada subintervalo [x_{i-1},x_i] temos:
  • o supremo M_i é atingido no extremo direito, isto é M_i=f(x_i) (ou pelo menos M_i=\lim_{x\to x_i^-}f(x), mas para monotona crescente o valor máximo no intervalo fechado é f(x_i));
  • o ínfimo m_i é atingido no extremo esquerdo, isto é m_i=f(x_{i-1}).
(Explicação curta e intuitiva: monotonia crescente significa que valores maiores de x produzem valores maiores de f; portanto no bloco à direita o maior valor é o de direita.)

Passo 5

Calculo a diferença U(f,P)-L(f,P) usando as fórmulas anteriores. Com M_i=f(x_i) e m_i=f(x_{i-1}) obtemos
U(f,P)-L(f,P) =\sum_{i=1}^{n}\bigl(f(x_i)-f(x_{i-1})\bigr)\,(x_i-x_{i-1}).
Agora introduzo a “malha” (ou norma) da partição:
\|P\|=\max_{1\le i\le n}(x_i-x_{i-1}).
A malha é o comprimento do maior subintervalo da partição.

Passo 6

Faço uma estimativa simples e muito útil. Observe que para cada termo da soma temos (x_i-x_{i-1})\le\|P\|. Portanto
U(f,P)-L(f,P) =\sum_{i=1}^{n}\bigl(f(x_i)-f(x_{i-1})\bigr)\,(x_i-x_{i-1}) \le \|P\|\sum_{i=1}^{n}\bigl(f(x_i)-f(x_{i-1})\bigr).
A soma telescopante no lado direito simplifica:
\sum_{i=1}^{n}\bigl(f(x_i)-f(x_{i-1})\bigr)=f(x_n)-f(x_0)=f(b)-f(a).
Assim obtemos a desigualdade limpinha:
U(f,P)-L(f,P)\le \|P\|\,\bigl(f(b)-f(a)\bigr).

Passo 7

Agora vem a parte de escolher a partição certa para controlar a diferença. Dado um \varepsilon>0, defina
\delta=\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)}.
(Se f(b)=f(a), ou seja f é constante, então f(b)-f(a)=0 e já temos U-L=0<\varepsilon para qualquer partição; portanto o caso constante está resolvido. Supondo f(b)-f(a)>0 o \delta acima faz sentido.)
Escolha qualquer partição P cuja malha satisfaz \|P\|<\delta. Pela desigualdade do passo anterior,
U(f,P)-L(f,P)\le \|P\|\,\bigl(f(b)-f(a)\bigr)<\delta\,(f(b)-f(a))=\varepsilon.
Isso demonstra exatamente o critério de integrabilidade: para o \varepsilon dado existe uma partição P (qualquer P com \|P\|<\delta) tal que U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon.

Passo 8

Concluo a prova e comento brevemente sobre o caso decrescente.
  • Conclusão: para qualquer \varepsilon>0 existe partição P com U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon. Logo f é Riemann integrável em [a,b].
  • Caso f decrescente: a mesma demonstração vale trocando M_i=f(x_{i-1}) e m_i=f(x_i); chega-se à mesma desigualdade final U(f,P)-L(f,P)\le\|P\|\,(f(a)-f(b)), e procede-se igual.
Breve observação pedagógica: outra prova possível usa que uma função monótona tem, no máximo, contagem numerável de pontos de descontinuidade e então aplica-se o teorema que funções limitadas com conjunto de descontinuidades de medida zero são integráveis. Eu escolhi a prova direta com somas superiores/inferiores porque é elemental e não exige teoria de medida, e é rápida para aplicar numa prova de graduação.

Resposta

Toda função monótona f:[a,b]\to\mathbb{R} é Riemann integrável em [a,b].

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