Mostre que toda função monótona
é integrável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda função monótona
é integrável. Dados e perguntas claras:
- Dado: uma função
definida no intervalo fechado e limitado . Assume-se . - Dado:
é monotona (isto é, monotona crescente ou monotona decrescente) em . - Pedido: provar que
é integrável (no sentido de Riemann) em .
Vou trabalhar sem assumir nada além disso. A estratégia será usar definições básicas de soma superior e soma inferior (Riemann) e mostrar que a diferença entre soma superior e inferior pode ser tornada arbitrariamente pequena.
Passo 2
Lembrete das definições que vou usar (explicadas com calma).
- Uma partição
de é uma sequência com . - Em cada subintervalo
defino -
(o supremo de nesse subintervalo); -
(o ínfimo de nesse subintervalo).
-
- A soma superior de
relativa a é
- A soma inferior de
relativa a é
- Critério de integrabilidade (definição prática):
é integrável em se, e somente se, para todo existe uma partição tal que
Vou mostrar essa condição para qualquer
.
Passo 3
Primeiro, mostro que
é limitada em
.
- Se
é monotona crescente, então para todo vale . Logo é limitada (por e ). - Se
é monotona decrescente, então para todo vale . Também é limitada.
Portantoé sempre limitada em , então e existem e são finitos para qualquer partição.
Passo 4
Vou tratar o caso de
monotona crescente; o caso decrescente é análogo (basta trocar papéis de extremos). Se
for constante o argumento fica trivial porque então
em cada subintervalo e
.
Suponha
crescente. Então, em cada subintervalo
temos:
- o supremo
é atingido no extremo direito, isto é (ou pelo menos , mas para monotona crescente o valor máximo no intervalo fechado é ); - o ínfimo
é atingido no extremo esquerdo, isto é .
(Explicação curta e intuitiva: monotonia crescente significa que valores maiores de
produzem valores maiores de
; portanto no bloco à direita o maior valor é o de direita.)
Passo 5
Calculo a diferença
usando as fórmulas anteriores. Com
e
obtemos
Agora introduzo a “malha” (ou norma) da partição:
A malha é o comprimento do maior subintervalo da partição.
Passo 6
Faço uma estimativa simples e muito útil. Observe que para cada termo da soma temos
. Portanto
A soma telescopante no lado direito simplifica:
Assim obtemos a desigualdade limpinha:
Passo 7
Agora vem a parte de escolher a partição certa para controlar a diferença. Dado um
, defina
(Se
, ou seja
é constante, então
e já temos
para qualquer partição; portanto o caso constante está resolvido. Supondo
o
acima faz sentido.)
Escolha qualquer partição
cuja malha satisfaz
. Pela desigualdade do passo anterior,
Isso demonstra exatamente o critério de integrabilidade: para o
dado existe uma partição
(qualquer
com
) tal que
.
Passo 8
Concluo a prova e comento brevemente sobre o caso decrescente.
- Conclusão: para qualquer
existe partição com . Logo é Riemann integrável em . - Caso
decrescente: a mesma demonstração vale trocando e ; chega-se à mesma desigualdade final , e procede-se igual.
Breve observação pedagógica: outra prova possível usa que uma função monótona tem, no máximo, contagem numerável de pontos de descontinuidade e então aplica-se o teorema que funções limitadas com conjunto de descontinuidades de medida zero são integráveis. Eu escolhi a prova direta com somas superiores/inferiores porque é elemental e não exige teoria de medida, e é rápida para aplicar numa prova de graduação.
Resposta
Toda função monótona
é Riemann integrável em
.