Seja
uma função periódica de período
, ou seja,
, para todo
. Mostre que se
for contínua, então:
a)
e
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá exatamente isto:
- Há uma função
contínua e periódica de período , isto é, para todo .
As perguntas são:
a) Mostrar quepara quaisquer e .
b) Mostrar quepara todo .
Passo 2
Observações iniciais (fatos que vamos usar e que justificam os passos seguintes).
- Como
é contínua, ela é integrável (Riemann) em qualquer intervalo fechado . Portanto todas as integrais que aparecem existem e são bem definidas. - A periodicidade significa que, para qualquer
e qualquer inteiro , vale . - Uma mudança de variável simples em integrais definidas: se
é bijetora e diferenciável sobre o intervalo considerado, então . No caso que vamos usar, a mudança será uma translação , cuja derivada é .
Passo 3
Prova de (a) usando mudança de variável.
Considere a integral .
Faça a mudança de variável . Então
. Quando
temos
. Quando
temos
. Substituindo:
Considere a integral
Faça a mudança de variável
Agora aplicamos a periodicidade:
para todo
. Assim
Como a variável de integração é dummy, isto mostra
Isto vale para qualquer inteiro
(positivo, zero ou negativo), pois a mudança de variável
é válida em todos os casos. Portanto (a) está provada.
Passo 4
Comentário didático sobre o que foi usado em (a) (para a prova na prova).
- A ideia essencial é que integrar uma função sobre um intervalo e então simplesmente deslocar esse intervalo por um múltiplo inteiro do período não altera o integrando, porque a função repete seus valores a cada período.
- A mudança de variável
é a forma formal de “deslocar” o intervalo no cálculo da integral; é importante transformar também os limites de integração corretamente (aqui ficaram e ) e notar que .
Passo 5
Prova de (b) usando (a) e uma decomposição simples.
Escreva de forma
com
e
. (Isso sempre é possível pela divisão euclidiana: dividir
por
.) Então
Escreva
Aplicando o resultado de (a) com
(ou seja, deslocando a integral por
) obtemos
Agora decomponha o intervalo
em dois pedaços:
No segundo termo, use novamente (a) para reduzir a integral deslocada por
:
pois ao fazer a mudança
obtemos os limites
e
e
. Portanto
Somando os dois integrais do lado direito dá exatamente a integral em
:
Assim, voltando aos passos anteriores,
o que prova (b).
Passo 6
Comentário didático sobre (b) (para a prova na prova).
- A ideia é que qualquer intervalo de comprimento
é, até uma translação por múltiplo inteiro de , igual a um intervalo com . Nesse caso, dividir em e e usar a periodicidade no segundo pedaço mostra que os dois pedaços juntos formam exatamente . - Alternativamente, poderia-se observar que a função
tem derivada (regra de Leibniz) e portanto é constante; avaliando em obtém-se o mesmo resultado. Ambos os raciocínios exigem continuidade para justificar integrais e diferenciação sob o sinal de integral.
Resposta
a)
.\n
b) .
b)