Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função periódica de período T, ou seja, f(x+T)=f(x), para todo x \in \mathbb{R}. Mostre que se f for contínua, então:
a) \int_{a}^{b} f=\int_{a+n T}^{b+n T} f, \quad a, b \in \mathbb{R} e n \in \mathbb{Z} ;
b) \int_{a}^{a+T} f=\int_{0}^{T} f, \quad a \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá exatamente isto:
  • Há uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} contínua e periódica de período T, isto é, \,f(x+T)=f(x)\, para todo x\in\mathbb{R}.
    As perguntas são:
    a) Mostrar que \displaystyle \int_{a}^{b} f=\int_{a+nT}^{b+nT} f para quaisquer a,b\in\mathbb{R} e n\in\mathbb{Z}.
    b) Mostrar que \displaystyle \int_{a}^{a+T} f=\int_{0}^{T} f para todo a\in\mathbb{R}.

Passo 2

Observações iniciais (fatos que vamos usar e que justificam os passos seguintes).
  • Como f é contínua, ela é integrável (Riemann) em qualquer intervalo fechado [c,d]. Portanto todas as integrais que aparecem existem e são bem definidas.
  • A periodicidade significa que, para qualquer x e qualquer inteiro n, vale \,f(x+nT)=f(x)\,.
  • Uma mudança de variável simples em integrais definidas: se x=\varphi(u) é bijetora e diferenciável sobre o intervalo considerado, então \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx=\int_{u_1}^{u_2} f(\varphi(u))\varphi'(u)\,du. No caso que vamos usar, a mudança será uma translação u=x-nT, cuja derivada é 1.

Passo 3

Prova de (a) usando mudança de variável.
Considere a integral \displaystyle I:=\int_{a+nT}^{b+nT} f(x)\,dx.
Faça a mudança de variável \,u=x-nT. Então du=dx. Quando x=a+nT temos u=a. Quando x=b+nT temos u=b. Substituindo:
I=\int_{a}^{b} f(u+nT)\,du.
Agora aplicamos a periodicidade: \,f(u+nT)=f(u)\, para todo u. Assim
I=\int_{a}^{b} f(u)\,du.
Como a variável de integração é dummy, isto mostra
\int_{a+nT}^{b+nT} f(x)\,dx=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Isto vale para qualquer inteiro n (positivo, zero ou negativo), pois a mudança de variável u=x-nT é válida em todos os casos. Portanto (a) está provada.

Passo 4

Comentário didático sobre o que foi usado em (a) (para a prova na prova).
  • A ideia essencial é que integrar uma função sobre um intervalo e então simplesmente deslocar esse intervalo por um múltiplo inteiro do período não altera o integrando, porque a função repete seus valores a cada período.
  • A mudança de variável u=x-nT é a forma formal de “deslocar” o intervalo no cálculo da integral; é importante transformar também os limites de integração corretamente (aqui ficaram a e b) e notar que du=dx.

Passo 5

Prova de (b) usando (a) e uma decomposição simples.
Escreva a de forma a = mT + r com m\in\mathbb{Z} e r\in[0,T). (Isso sempre é possível pela divisão euclidiana: dividir a por T.) Então
\int_{a}^{a+T} f(x)\,dx=\int_{mT+r}^{mT+r+T} f(x)\,dx.
Aplicando o resultado de (a) com n=-m (ou seja, deslocando a integral por -mT) obtemos
\int_{mT+r}^{mT+r+T} f(x)\,dx=\int_{r}^{r+T} f(x)\,dx.
Agora decomponha o intervalo [r,r+T] em dois pedaços:
\int_{r}^{r+T} f(x)\,dx=\int_{r}^{T} f(x)\,dx+\int_{T}^{r+T} f(x)\,dx.
No segundo termo, use novamente (a) para reduzir a integral deslocada por -T:
\int_{T}^{r+T} f(x)\,dx=\int_{0}^{r} f(x)\,dx,
pois ao fazer a mudança u=x-T obtemos os limites 0 e r e f(u+T)=f(u). Portanto
\int_{r}^{r+T} f(x)\,dx=\int_{r}^{T} f(x)\,dx+\int_{0}^{r} f(x)\,dx.
Somando os dois integrais do lado direito dá exatamente a integral em [0,T]:
\int_{r}^{T} f(x)\,dx+\int_{0}^{r} f(x)\,dx=\int_{0}^{T} f(x)\,dx.
Assim, voltando aos passos anteriores,
\int_{a}^{a+T} f(x)\,dx=\int_{0}^{T} f(x)\,dx,
o que prova (b).

Passo 6

Comentário didático sobre (b) (para a prova na prova).
  • A ideia é que qualquer intervalo de comprimento T é, até uma translação por múltiplo inteiro de T, igual a um intervalo [r,r+T] com r\in[0,T). Nesse caso, dividir [r,r+T] em [r,T] e [T,r+T] e usar a periodicidade no segundo pedaço mostra que os dois pedaços juntos formam exatamente [0,T].
  • Alternativamente, poderia-se observar que a função I(a)=\int_{a}^{a+T} f tem derivada I'(a)=f(a+T)-f(a)=0 (regra de Leibniz) e portanto é constante; avaliando em a=0 obtém-se o mesmo resultado. Ambos os raciocínios exigem continuidade para justificar integrais e diferenciação sob o sinal de integral.

Resposta

a) \displaystyle \int_{a}^{b} f=\int_{a+nT}^{b+nT} f.\n
b) \displaystyle \int_{a}^{a+T} f=\int_{0}^{T} f.

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