Mostre que para todo
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, para todo número natural
, o produto
é menor ou igual a
. Para resolver isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica que ajuda a provar afirmações válidas para todos os números naturais. Vamos precisar entender como funciona a indução e aplicar algumas propriedades de desigualdades e produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando
.
Quando
:
Calculando os valores:
Vemos que
, então o caso base é verdadeiro.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação vale para algum
, ou seja:
Esse é o nosso hipótese de indução. Precisamos usar essa suposição para mostrar que a afirmação também é verdadeira para
.
Passo 4
Vamos considerar o caso para
:
Simplificando o último termo:
Então, o produto fica:
Passo 5
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então, podemos substituir na expressão:
Vamos simplificar isso:
Mas isso não está facilitando, então vamos outra abordagem.
Passo 6
Vamos reescrever a expressão:
Portanto:
Para mostrar que isso é menor ou igual a
, precisamos provar que:
Passo 7
Vamos comparar os dois lados:
Sabemos que
.
Então:
Queremos mostrar que:
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Multiplicando ambos os lados por
(que é positivo, então a desigualdade se mantém):
Expandindo ambos os lados:
Simplificando:
O que é sempre verdadeiro. Logo, a desigualdade original também é verdadeira.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo
: