Mostre que para todo n in N :
12 times 34 times 56 times cdots times 2 n-12 n <= 1raiz2 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, para todo número natural 12 times 34 times 56 times cdots times 2n-12n , o produto
é menor ou igual a . Para resolver isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica que ajuda a provar afirmações válidas para todos os números naturais. Vamos precisar entender como funciona a indução e aplicar algumas propriedades de desigualdades e produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando 12 <= 1raiz2(1)+1 = 1raiz3 .
Quando 12 approx 0,5 e 1raiz3 approx 0,577 :
Calculando os valores:
Vemos que , então o caso base é verdadeiro.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação vale para algum 12 times 34 times cdots times 2k-12k <= 1raiz2k+1 , ou seja:
Esse é o nosso hipótese de indução. Precisamos usar essa suposição para mostrar que a afirmação também é verdadeira para .

Passo 4

Vamos considerar o caso para 12 times 34 times cdots times 2k-12k times 2(k+1)-12(k+1) :
2(k+1)-12(k+1) = 2k+2-12k+2 = 2k+12k+2
Simplificando o último termo:
(12 times 34 times cdots times 2k-12k) times 2k+12k+2
Então, o produto fica:

Passo 5

Pela hipótese de indução, sabemos que:
12 times 34 times cdots times 2k-12k <= 1raiz2k+1
Então, podemos substituir na expressão:
1raiz2k+1 times 2k+12k+2
Vamos simplificar isso:
2k+1(2k+2)raiz2k+1 = raiz2k+12k+2 = 1raiz2k+1 times raiz2k+12k+2 = 1raiz2k+1 times 12k+2
Mas isso não está facilitando, então vamos outra abordagem.

Passo 6

Vamos reescrever a expressão:
2k+12k+2 = 2k+2 -12k+2 = 1 - 12k+2
Portanto:
1raiz2k+1 times (1 - 12k+2)
Para mostrar que isso é menor ou igual a 1raiz2k+1 times (1 - 12k+2) <= 1raiz2k+3 , precisamos provar que:

Passo 7

Vamos comparar os dois lados:
Sabemos que 2k+1(2k+2)raiz2k+1 = 2k+1(2k+2)raiz2k+1 = raiz2k+12k+2 .
Então:
raiz2k+12k+2 <= 1raiz2k+3
Queremos mostrar que:
2k+1(2k+2)^2 <= 12k+3
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
(2k+1)(2k+3) <= (2k+2)^2
Multiplicando ambos os lados por 4k^2 + 8k + 3 <= 4k^2 + 8k + 4 (que é positivo, então a desigualdade se mantém):
3 <= 4
Expandindo ambos os lados:
Simplificando:
O que é sempre verdadeiro. Logo, a desigualdade original também é verdadeira.

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo 12 times 34 times 56 times cdots times 2n-12n <= 1raiz2n+1 :

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