Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para
e
; por (Soma +)
e (produto escalar)
Mostre que valem os Axiomas 5,6,e 7 .
Mostre que valem os Axiomas 5,6,e 7 .
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de Álgebra Linear. A questão nos pede para mostrar que certas regras (chamadas de Axiomas 5, 6 e 7) valem para operações de adição e multiplicação por escalar definidas em pares de números reais. Vamos precisar entender o que são esses axiomas e aplicar às operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são definidas as operações:
- Soma: Se temos dois vetores
e , a soma deles é . - Multiplicação por escalar: Se multiplicamos um vetor
por um número real , o resultado é .
Passo 3
Vamos começar verificando o Axioma 5, que geralmente trata da existência de inversos aditivos. Isso significa que para qualquer vetor
, deve existir um vetor
tal que
, onde
é o vetor zero.
Passo 4
Para nosso caso, o vetor zero é
. Vamos encontrar
:
Agora, somando:
Então, o Axioma 5 é satisfeito.
Então, o Axioma 5 é satisfeito.
Passo 5
Agora, vamos para o Axioma 6, que geralmente envolve a compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de números reais. Isso quer dizer que para quaisquer escalares
e
, temos
.
Passo 6
Vamos verificar:
Por outro lado:
Como os dois resultados são iguais, o Axioma 6 é válido.
Por outro lado:
Como os dois resultados são iguais, o Axioma 6 é válido.
Passo 7
Por último, vamos verificar o Axioma 7, que geralmente trata da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Ou seja,
.
Passo 8
Primeiro, calculamos
:
Agora, multiplicando por :
Agora, multiplicando por
Por outro lado:
Como os dois lados são iguais, o Axioma 7 está confirmado.
Resposta
Mostramos que os Axiomas 5, 6 e 7 são válidos para as operações definidas, confirmando que as regras estão satisfeitas.