Mostre que, para todo n \in \mathbb{N},
13 \mid 9^{2 n}-2^{4 n}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N},
13 \mid 9^{2n} - 2^{4n}.
O que vamos usar é aritmética modular (congruências) e propriedades de potências.

Passo 2

Reescrevemos as potências de modo a expor uma base única elevada a n:
9^{2n} = (9^2)^n = 81^n, \quad 2^{4n} = (2^4)^n = 16^n.
Assim basta provar que 81^n - 16^n é múltiplo de 13.

Passo 3

Reduzimos as bases módulo 13:
81 \equiv 81 - 6\cdot13 = 81 -78 = 3 \pmod{13},
16 \equiv 16 - 1\cdot13 = 3 \pmod{13}.

Passo 4

Como potências respeitam congruências, temos
81^n \equiv 3^n \pmod{13}, \quad 16^n \equiv 3^n \pmod{13}.
Subtraindo as duas congruências aparece
81^n -16^n \equiv 3^n - 3^n = 0 \pmod{13},
ou seja, 13 divide 81^n - 16^n, isto é
13 \mid 9^{2n} - 2^{4n}.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, 13 divide 9^{2n} - 2^{4n}.

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