Mostre que, para todo n \in \mathbb{N},
14 \mid 3^{4 n+2}+5^{2 n+1}

Passo 1

Queremos provar que para todo n\in\mathbb{N} vale
14 \mid 3^{4n+2} + 5^{2n+1}.
Para isso, basta mostrar que esse número é divisível por 2 e por 7, pois 14 = 2\cdot 7.

Passo 2

Verificamos primeiro a divisibilidade por 2. Como 3^{4n+2} é potência de um número ímpar, é ímpar, e 5^{2n+1} também é ímpar. Soma de dois ímpares é par, logo
2 \mid \bigl(3^{4n+2} + 5^{2n+1}\bigr).

Passo 3

Reescrevemos cada termo de forma a expor potências de grau múltiplo de 4 ou 2:
3^{4n+2} = 3^2 \cdot (3^4)^n,
5^{2n+1} = 5 \cdot (5^2)^n.

Passo 4

Agora reduzimos tudo módulo 7. Sabemos que
3^2 \equiv 9 \equiv 2 \pmod7, \quad 3^4 \equiv (3^2)^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod7,
5 \equiv 5 \pmod7, \quad 5^2 \equiv 25 \equiv 4 \pmod7.
Logo
3^{4n+2} \equiv 2\cdot 4^n \pmod7, \quad 5^{2n+1} \equiv 5\cdot 4^n \pmod7.
Somando,
3^{4n+2} + 5^{2n+1} \equiv (2 + 5)\,4^n =7\cdot 4^n \equiv 0 \pmod7,
ou seja,
7 \mid \bigl(3^{4n+2} + 5^{2n+1}\bigr).

Passo 5

Como mostramos que 2 e 7 dividem 3^{4n+2} + 5^{2n+1}, concluímos que 14 = 2\cdot7 também divide essa soma para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N},
14 \mid 3^{4n+2} + 5^{2n+1}.

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