Mostre que, para todo
,
Passo 1
Queremos provar que para todo
vale
Para isso, basta mostrar que esse número é divisível por
e por
, pois
.
Passo 2
Verificamos primeiro a divisibilidade por
. Como
é potência de um número ímpar, é ímpar, e
também é ímpar. Soma de dois ímpares é par, logo
Passo 3
Reescrevemos cada termo de forma a expor potências de grau múltiplo de
ou
:
Passo 4
Agora reduzimos tudo módulo
. Sabemos que
Logo
Somando,
ou seja,
Passo 5
Como mostramos que
e
dividem
, concluímos que
também divide essa soma para todo
.
Resposta
Para todo
,