Mostre que, em todo triângulo retângulo, onde
é um de seus ângulos agudo:
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que, em todo triângulo retângulo, se
é um dos ângulos agudos, então vale a identidade
Informações dadas:
é um ângulo agudo de um triângulo retângulo (ou seja, um dos dois ângulos que não são de
). Não há outras condições; devemos usar as definições usuais de seno e cosseno em triângulos retângulos e a relação entre os lados desse triângulo.
Passo 2
Vamos nomear os lados do triângulo retângulo para ficar claro. Considere um triângulo retângulo qualquer e escolha o ângulo agudo
. Denotemos:
Essas letras são só nomes para os comprimentos dos lados; em qualquer triângulo retângulo com ângulo
existe essa identificação.
Passo 3
Relembre a definição trigonométrica (a forma básica usada em provas): em um triângulo retângulo, para o ângulo
,
Explicando devagar: o seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa; o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Essas razões são independentes do tamanho do triângulo — dependem apenas do ângulo
.
Passo 4
Use agora o Teorema de Pitágoras (um resultado fundamental para triângulos retângulos). Ele afirma que os quadrados dos catetos somam o quadrado da hipotenusa:
Esse teorema é clássico; se quiser um lembrete rápido: construa quadrados sobre os lados ou use semelhança de triângulos para deduzir; aqui vamos usá-lo como ferramenta direta.
Passo 5
Substituímos as definições de
e
na soma
. Primeiro escrevemos os quadrados:
Somando-os obtemos
Passo 6
Agora aplicamos o Teorema de Pitágoras ao numerador da fração. Como
, temos
Portanto,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.
Passo 7
Para fixar a ideia, vamos checar com um exemplo numérico bem simples: considere o triângulo
-
-
(catetos
e
, hipotenusa
). Para o ângulo
cujo cateto oposto vale
e adjacente vale
,
Logo
Isso confirma numericamente a identidade e mostra que ela funciona para qualquer triângulo retângulo (as razões são as que interessam, não o tamanho absoluto).
Passo 8
Observação conceitual final (motivação para a prova): a identidade
é chamada identidade pitagórica trigonométrica porque vem diretamente do Teorema de Pitágoras aplicado às definições de seno e cosseno como razões entre lados. É uma relação universal para qualquer ângulo
(quando seno e cosseno são definidos dessa forma).