Mostre que, em todo triângulo retângulo, onde \theta é um de seus ângulos agudo: \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que, em todo triângulo retângulo, se \theta é um dos ângulos agudos, então vale a identidade
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
Informações dadas:
\theta é um ângulo agudo de um triângulo retângulo (ou seja, um dos dois ângulos que não são de 90^\circ). Não há outras condições; devemos usar as definições usuais de seno e cosseno em triângulos retângulos e a relação entre os lados desse triângulo.

Passo 2

Vamos nomear os lados do triângulo retângulo para ficar claro. Considere um triângulo retângulo qualquer e escolha o ângulo agudo \theta. Denotemos:
\begin{aligned} o &= \text{o comprimento do cateto oposto a } \theta,\\\ a &= \text{o comprimento do cateto adjacente a } \theta,\\\ h &= \text{o comprimento da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto).} \end{aligned}â
Essas letras são só nomes para os comprimentos dos lados; em qualquer triângulo retângulo com ângulo \theta existe essa identificação.

Passo 3

Relembre a definição trigonométrica (a forma básica usada em provas): em um triângulo retângulo, para o ângulo \theta,
\sin\theta=\frac{o}{h} \qquad\text{e}\qquad \cos\theta=\frac{a}{h}.
Explicando devagar: o seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa; o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Essas razões são independentes do tamanho do triângulo — dependem apenas do ângulo \theta.

Passo 4

Use agora o Teorema de Pitágoras (um resultado fundamental para triângulos retângulos). Ele afirma que os quadrados dos catetos somam o quadrado da hipotenusa:
o^{2}+a^{2}=h^{2}.
Esse teorema é clássico; se quiser um lembrete rápido: construa quadrados sobre os lados ou use semelhança de triângulos para deduzir; aqui vamos usá-lo como ferramenta direta.

Passo 5

Substituímos as definições de \sin\theta e \cos\theta na soma \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta. Primeiro escrevemos os quadrados:
\sin^{2}\theta=\left(\frac{o}{h}\right)^{2}=\frac{o^{2}}{h^{2}}, \qquad \cos^{2}\theta=\left(\frac{a}{h}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{h^{2}}.
Somando-os obtemos
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=\frac{o^{2}}{h^{2}}+\frac{a^{2}}{h^{2}}=\frac{o^{2}+a^{2}}{h^{2}}.

Passo 6

Agora aplicamos o Teorema de Pitágoras ao numerador da fração. Como o^{2}+a^{2}=h^{2}, temos
\frac{o^{2}+a^{2}}{h^{2}}=\frac{h^{2}}{h^{2}}=1.
Portanto,
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Passo 7

Para fixar a ideia, vamos checar com um exemplo numérico bem simples: considere o triângulo 3- 4- 5 (catetos 3 e 4, hipotenusa 5). Para o ângulo \theta cujo cateto oposto vale 3 e adjacente vale 4,
\sin\theta=\frac{3}{5},\qquad \cos\theta=\frac{4}{5}.
Logo
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=\frac{25}{25}=1.
Isso confirma numericamente a identidade e mostra que ela funciona para qualquer triângulo retângulo (as razões são as que interessam, não o tamanho absoluto).

Passo 8

Observação conceitual final (motivação para a prova): a identidade \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1 é chamada identidade pitagórica trigonométrica porque vem diretamente do Teorema de Pitágoras aplicado às definições de seno e cosseno como razões entre lados. É uma relação universal para qualquer ângulo \theta (quando seno e cosseno são definidos dessa forma).

Resposta

\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1

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