Sejam x, y ângulos agudos, onde: \cot x=3 e \operatorname{sec} y=1,33 \ldots
Calcule:
\csc x

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • x e y são ângulos agudos.
  • \cot x = 3.
  • \operatorname{sec} y = 1,33\ldots (informação presente no enunciado).
    A pergunta que temos de responder é:
  • Calcular \csc x.

Passo 2

Vamos recordar definições úteis e uma identidade que nos economiza trabalho.
Definições básicas (num triângulo retângulo ou pelas razões trigonométricas):
  • \sin x é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
  • \cos x é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
  • \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}.
  • \csc x = \dfrac{1}{\sin x}.
Agora uma identidade muito prática, obtida dividindo a identidade pitagórica \sin^2 x + \cos^2 x = 1 por \sin^2 x:
\frac{\sin^2 x}{\sin^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x}
ou seja
1 + \cot^2 x = \csc^2 x.
Essa identidade relaciona diretamente \cot x com \csc x — perfeita para o nosso caso.

Passo 3

Usamos a identidade \csc^2 x = 1 + \cot^2 x e substituímos \cot x = 3:
\csc^2 x = 1 + 3^2.

Passo 4

Calculando:
\csc^2 x = 1 + 9 = 10.
Agora extraímos raiz quadrada em ambos os lados. Como x é ângulo agudo, \csc x é positivo, então tomamos a raiz positiva:
\csc x = \sqrt{10}.

Passo 5

Para fixar a ideia, faço aqui uma interpretação geométrica rápida (opcional): se \cot x = 3 podemos pensar numa razão \cot x = \dfrac{3}{1}, isto é, num triângulo retângulo com cateto adjacente 3 e cateto oposto 1. A hipotenusa vale \sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}. Então \sin x = \dfrac{1}{\sqrt{10}} e \csc x = \dfrac{\sqrt{10}}{1}=\sqrt{10}, que confere com o resultado anterior.

Resposta

\sqrt{10}

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