Mostre que para todo z \in \mathbb{C} vale que:
\left|e^{z}\right|=e^{\operatorname{Re}(z)}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo número complexo z, vale
\bigl|e^{z}\bigr| = e^{\Re(z)}.
O conteúdo principal aqui é a definição da exponencial complexa e a fórmula de Euler. Vamos precisar escrever z em sua forma x + i y e usar que
e^{i y} = \cos(y) + i\sin(y).

Passo 2

Escrevemos z = x + i y, com x = \Re(z) e y = \Im(z). Então, pela definição da exponencial,
e^{z} = e^{x + i y} = e^{x}\,e^{i y}.
Aplicando a fórmula de Euler, isso vira
e^{z} = e^{x}\bigl(\cos(y) + i\,\sin(y)\bigr).

Passo 3

Para calcular o módulo, usamos \bigl|a\,b\bigr| = |a|\,|b| e \bigl|\cos y + i\sin y\bigr| = \sqrt{\cos^2 y + \sin^2 y} = 1. Logo,
\bigl|e^{z}\bigr| = \bigl|e^{x}\bigr|\;\bigl|e^{i y}\bigr| = e^{x}\cdot 1 = e^{x}.

Passo 4

Como x = \Re(z), concluímos que
\bigl|e^{z}\bigr| = e^{\Re(z)},
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

\displaystyle \bigl|e^{z}\bigr| = e^{\Re(z)}.

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