Mostre que para todo z \in \mathbb{C} vale que:
e^{z}=1 \Leftrightarrow z=2 k \pi i, k \in \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para todo z\in\mathbb{C}, vale
e^{z}=1\quad\Leftrightarrow\quad z=2k\pi i,\;k\in\mathbb{Z}.
O conteúdo que precisamos é a definição da exponencial complexa e a fórmula de Euler.

Passo 2

Escrevemos z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}. Pela definição da exponencial complexa e pela fórmula de Euler, temos
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\bigl(\cos y + i\sin y\bigr).

Passo 3

Suponha e^{z}=1\). Então \[e^{x}\bigl(\cos y + i\sin y\bigr)=1+0\,i.
Como e^{x}>0 é real, igualamos as partes real e imaginária:
\begin{cases} e^{x}=1,\\\ \cos y=1,\\\ \sin y=0. \end{cases}
Da primeira equação segue x=0\]. Das duas últimas segue \(y=2k\pi com k\in\mathbb{Z}. Portanto
z=x+iy=0 + i(2k\pi)=2k\pi i.

Passo 4

Reciprocamente, se z=2k\pi i então
e^{z}=e^{2k\pi i}=\cos(2k\pi)+i\sin(2k\pi)=1+0\,i=1.

Resposta

\displaystyle z=2k\pi i,\quad k\in\mathbb{Z}.

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