Mostre que para todo
vale que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, vale
Vamos usar a definição de exponencial complexa por série de potências e a propriedade multiplicativa que dela decorre.
Passo 2
Definimos
Como essa série é absolutamente convergente para todo
, podemos usar o produto de Cauchy para duas séries absolutamente convergentes e obter a propriedade
Passo 3
Em particular, tomando
na propriedade multiplicativa, temos
Mas, pela definição da série,
Passo 4
Logo
Se existisse algum
tal que
, teríamos
, o que é impossível. Portanto, não existe
com
.
Resposta
Para todo
,
.