Mostre que para todo z \in \mathbb{C} vale que:
e^{z} \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo z\in\mathbb{C}, vale
e^{z}\neq0.
Vamos usar a definição de exponencial complexa por série de potências e a propriedade multiplicativa que dela decorre.

Passo 2

Definimos
e^{z} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.
Como essa série é absolutamente convergente para todo z\in\mathbb{C}, podemos usar o produto de Cauchy para duas séries absolutamente convergentes e obter a propriedade
e^{z}\,e^{w} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}\;\sum_{m=0}^{\infty}\frac{w^{m}}{m!} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(z+w)^{k}}{k!} = e^{\,z+w}.

Passo 3

Em particular, tomando w=-z na propriedade multiplicativa, temos
e^{z}\,e^{-z}=e^{\,z+(-z)}=e^{0}.
Mas, pela definição da série,
e^{0}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{0^{n}}{n!} =\frac{0^{0}}{0!}+\sum_{n=1}^{\infty}0 =1.

Passo 4

Logo
e^{z}\,e^{-z}=1.
Se existisse algum z tal que e^{z}=0, teríamos 0\cdot e^{-z}=1, o que é impossível. Portanto, não existe z com e^{z}=0.

Resposta

Para todo z\in\mathbb{C}, e^{z}\neq 0.

Exercícios relacionados