Prove que se w é uma raiz n-ésima da unidade diferente de 1 então:
a) 1+w+w^{2}+\ldots+w^{n-1}=0.
b) 1+2 w+3 w^{2}+\ldots+n w^{n-1}=\frac{n}{w-1}.

Passo 1

O enunciado diz que \omega é uma raiz n-ésima da unidade diferente de 1. Isto significa que
\omega^n = 1 \quad\text{e}\quad \omega \neq 1.
Precisaremos usar a soma de uma progressão geométrica para a parte (a) e, para a parte (b), a técnica de derivar uma soma que dependa de um parâmetro.

Passo 2

Queremos provar que
1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{n-1} = 0.
Note que essa soma é uma progressão geométrica de razão \omega e n termos. Se chamarmos
S = 1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{n-1},
então multiplicar por \omega - 1
S(\omega - 1) = (\omega + \omega^2 + \cdots + \omega^n) - (1 + \omega + \cdots + \omega^{n-1}) = \omega^n - 1.
Como \omega^n = 1, segue
S(\omega - 1) = 1 - 1 = 0.
E, como \omega \neq 1, temos \omega - 1 \neq 0, logo
S = 0.

Passo 3

Para a parte (b), considere a função
f(x) = \sum_{k=1}^{n} x^k = x + x^2 + \cdots + x^n.
Sabemos que
f(x) = \frac{x - x^{n+1}}{1 - x},
pois é a soma de uma progressão geométrica de razão x. Observe que
f'(x) = \sum_{k=1}^n k\,x^{k-1}
por derivação termo a termo.

Passo 4

Vamos aplicar a regra do quociente em
f(x) = \frac{N(x)}{D(x)} \quad\text{com}\quad N(x) = x - x^{n+1}, \;D(x)=1-x.
Temos
N'(x) = 1 - (n+1)x^n, \qquad D'(x) = -1,
logo
f'(x) = \frac{N'(x)\,D(x) - N(x)\,D'(x)}{[D(x)]^2} = \frac{\bigl(1-(n+1)x^n\bigr)(1-x) - (x - x^{n+1})(-1)}{(1-x)^2}.
Avalie em x=\omega. Como \omega^n=1, nota-se que \omega^{n+1}=\omega. Assim o numerador fica
\bigl(1-(n+1)\cdot1\bigr)(1-\omega) + (\,\omega - \omega\,) = (-n)(1-\omega).
Portanto
f'(\omega) = \frac{-n(1-\omega)}{(1-\omega)^2} = \frac{-n}{1-\omega} = \frac{n}{\omega - 1}.
Mas f'(\omega)=\sum_{k=1}^n k\,\omega^{k-1}=1+2\omega+3\omega^2+\cdots+n\omega^{n-1}. Logo
1 + 2\omega + 3\omega^2 + \cdots + n\,\omega^{n-1} = \frac{n}{\omega - 1}.

Resposta

(a) 1 + \omega + \omega^{2} + \cdots + \omega^{n-1} = 0.
(b) 1 + 2\omega + 3\omega^{2} + \cdots + n\,\omega^{n-1} = \dfrac{n}{\omega - 1}.

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