Mostre que as transformações abaixo são lineares.
, dada por
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear candidata
definida por
.
O que é pedido: mostrar que essa transformação é linear, ou seja, verificar que ela satisfaz as propriedades necessárias para toda escolha de números reais.
O que é pedido: mostrar que essa transformação é linear, ou seja, verificar que ela satisfaz as propriedades necessárias para toda escolha de números reais.
Passo 2
Lembrando a definição de linearidade (isso é importante, decora como um checklist para a prova): uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
Aqui, os “vetores” são simplesmente números reais, e os “escalares” também são números reais. Vou verificar as duas propriedades diretamente — é o método mais direto e à prova de prova surpresa.
Passo 3
Verificação da aditividade
.
Sejam
. Então
Usando a distributividade da multiplicação sobre a adição em
,
Mas
e
, logo
Portanto a propriedade de aditividade vale para quaisquer
.
Passo 4
Verificação da homogeneidade
.
Sejam
e
. Então
Pela associatividade e comutatividade da multiplicação em
,
Mas
, portanto
Assim a homogeneidade vale para todo escalar
e todo
.
Passo 5
Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para quaisquer
e qualquer
, segue que
é linear.
Passo 6
Comentário extra (útil para a prova): mapas da forma
com
são sempre lineares. Outra visão rápida:
corresponde à multiplicação pela matriz
(matriz
), e multiplicação por matriz é uma transformação linear. Um exemplo numérico para firmar a intuição:
,
e
.
Dica prática para a prova: quando ver
, teste rápido — se
então não é linear (porque não preserva a origem:
). Se a função é só
(sem termo independente), normalmente ela é linear — basta verificar os dois itens acima mentalmente.
Resposta
A transformação
dada por
é linear.