Mostre que as transformações abaixo são lineares.
\mathrm{f}: \Re \rightarrow \Re\, dada por \mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}\

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear candidata \mathrm{f}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} definida por \mathrm{f}(x)=2x.
O que é pedido: mostrar que essa transformação é linear, ou seja, verificar que ela satisfaz as propriedades necessárias para toda escolha de números reais.

Passo 2

Lembrando a definição de linearidade (isso é importante, decora como um checklist para a prova): uma aplicação \mathrm{f} entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer x,y\in\mathbb{R} e qualquer escalar a\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
\mathrm{f}(x+y)=\mathrm{f}(x)+\mathrm{f}(y)
\mathrm{f}(a x)=a\,\mathrm{f}(x).
Aqui, os “vetores” são simplesmente números reais, e os “escalares” também são números reais. Vou verificar as duas propriedades diretamente — é o método mais direto e à prova de prova surpresa.

Passo 3

Verificação da aditividade \mathrm{f}(x+y)=\mathrm{f}(x)+\mathrm{f}(y).
Sejam x,y\in\mathbb{R}. Então
\mathrm{f}(x+y)=2(x+y).
Usando a distributividade da multiplicação sobre a adição em \mathbb{R},
2(x+y)=2x+2y.
Mas 2x=\mathrm{f}(x) e 2y=\mathrm{f}(y), logo
\mathrm{f}(x+y)=\mathrm{f}(x)+\mathrm{f}(y).
Portanto a propriedade de aditividade vale para quaisquer x,y.

Passo 4

Verificação da homogeneidade \mathrm{f}(a x)=a\,\mathrm{f}(x).
Sejam a\in\mathbb{R} e x\in\mathbb{R}. Então
\mathrm{f}(a x)=2(a x).
Pela associatividade e comutatividade da multiplicação em \mathbb{R},
2(a x)=(2a)x=a(2x).
Mas 2x=\mathrm{f}(x), portanto
\mathrm{f}(a x)=a\,\mathrm{f}(x).
Assim a homogeneidade vale para todo escalar a e todo x.

Passo 5

Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para quaisquer x,y\in\mathbb{R} e qualquer a\in\mathbb{R}, segue que \mathrm{f} é linear.

Passo 6

Comentário extra (útil para a prova): mapas da forma \mathrm{f}(x)=c x com c\in\mathbb{R} são sempre lineares. Outra visão rápida: \mathrm{f} corresponde à multiplicação pela matriz [2] (matriz 1\times1), e multiplicação por matriz é uma transformação linear. Um exemplo numérico para firmar a intuição: \mathrm{f}(2)=4, \mathrm{f}(3)=6 e \mathrm{f}(2+3)=\mathrm{f}(5)=10=\mathrm{f}(2)+\mathrm{f}(3).
Dica prática para a prova: quando ver \mathrm{f}(x)=ax+b, teste rápido — se b\neq0 então não é linear (porque não preserva a origem: \mathrm{f}(0)=b\neq0). Se a função é só ax (sem termo independente), normalmente ela é linear — basta verificar os dois itens acima mentalmente.

Resposta

A transformação \mathrm{f}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} dada por \mathrm{f}(x)=2x é linear.

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