Escreva a matriz canônica associada a transformação linear :
f(x)=3 x

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear definida por f(x)=3x. O que se pede é a matriz canônica (isto é, a matriz da transformação em relação à base canônica) associada a f. Informações relevantes fornecidas:
  • A transformação é f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por f(x)=3x.
  • Deve-se usar a base canônica (padrão) de \mathbb{R}.

Passo 2

Explicar o que é a matriz canônica de uma transformação linear: para um mapa linear f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, a matriz associada em relação às bases canônicas é obtida aplicando f aos vetores da base canônica de \mathbb{R}^n e colocando as coordenadas dos resultados como colunas. No caso de \mathbb{R} (dimensão 1), a base canônica é
\{e_1\} \quad\text{com}\quad e_1=1.
Portanto basta calcular f(e_1) e colocar sua coordenada (em relação à mesma base canônica de \mathbb{R}) como única entrada da matriz 1\times1.

Passo 3

Calcular f(e_1). Como e_1=1,
f(e_1)=f(1)=3\cdot 1=3.
A coordenada de f(e_1) na base canônica é simplesmente o número 3.

Passo 4

Montar a matriz canônica colocando essa coordenada como a única coluna (e única linha). Logo a matriz associada à transformação linear f na base canônica é a matriz 1\times1
\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}.
Verificação rápida: se x\in\mathbb{R} tem coordenada x na base canônica, a multiplicação pela matriz dá
\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x\end{pmatrix},
que coincide com f(x).

Resposta

\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}

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