Mostre que o único ponto crítico de f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - x*y + x - 2*z + 1 é ponto de mínimo local.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O exercício pede para mostrar que o único ponto crítico dessa função é um ponto de mínimo local. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, como encontrar derivadas parciais e analisar a matriz Hessiana para determinar a natureza do ponto crítico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a é:
Em relação a :
Em relação a :

Passo 3

Agora, igualamos cada derivada parcial a zero para encontrar as equações do sistema:

Passo 4

Resolvendo a equação (3) primeiro:

Passo 5

Agora, da equação (2):

Passo 6

Substituindo na equação (1):

Passo 7

Agora, com , encontramos :

Passo 8

Assim, o único ponto crítico é .

Passo 9

Para determinar se esse ponto é um mínimo local, precisamos analisar a matriz Hessiana da função . A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais:
Calculando cada elemento:
Então,

Passo 10

Para verificar se o ponto é um mínimo, precisamos verificar se a matriz Hessiana é positiva definida. Uma matriz é positiva definida se todos os seus menores principais determinantes forem positivos.
Calculando os determinantes:
  1. O primeiro menor:
  2. O segundo menor:
  1. O determinante completo:
Como todos os determinantes são positivos, a matriz Hessiana é positiva definida.

Resposta

O único ponto crítico da função é e é um ponto de mínimo local.

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