Mostre que a unidade de Pascal é equivalente à \mathrm{kg} / \mathrm{ms}^{2}. Para tanto, utilize definição unitária de Newton, Joule, velocidade e massa.

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre que a unidade de Pascal é equivalente a \mathrm{kg}/\mathrm{m}\mathrm{s}^{2}. Informações relevantes que vou usar (definições unitárias fornecidas no enunciado): \n
  • definição unitária de massa: a unidade básica é o quilograma, escrita \mathrm{kg};\n
  • definição unitária de velocidade: a velocidade tem unidade \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} (metro por segundo);\n
  • definição unitária de aceleração: ação de variação de velocidade no tempo tem unidade \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} (metro por segundo ao quadrado);\n
  • definição unitária de Newton (força): 1\\ \mathrm{N} é a força que aplicada a uma massa de 1\\ \mathrm{kg} produz aceleração 1\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2};\n
  • definição unitária de Joule (energia/trabalho): 1\\ \mathrm{J}=1\\ \mathrm{N}\cdot 1\\ \mathrm{m} (não é essencial para a conversão final, mas vou usar para reforçar o raciocínio);\n
  • definição de Pascal (pressão): 1\\ \mathrm{Pa} corresponde a 1\\ \mathrm{N} de força aplicada uniformemente sobre 1\\ \mathrm{m}^{2} de área, ou seja 1\\ \mathrm{Pa}=1\\ \mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-2}.\n

Passo 2

Explico a unidade de velocidade e de aceleração, pois são ingredientes para a unidade de Newton. \n
Velocidade é definido por \displaystyle v=\frac{\Delta x}{\Delta t}, onde \Delta x é deslocamento (unidade \mathrm{m}) e \Delta t é tempo (unidade \mathrm{s}). Logo a unidade de velocidade é \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.\n
Aceleração é a variação da velocidade no tempo: \displaystyle a=\frac{\Delta v}{\Delta t}. Como \Delta v tem unidade \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} e \Delta t tem unidade \mathrm{s}, a unidade de aceleração é
\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm{s}^{-1}=\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}.

Passo 3

Agora uso a definição de Newton via a segunda lei de Newton: \displaystyle F = m\,a. \n
Aqui F é força, m é massa (unidade \mathrm{kg}) e a é aceleração (unidade \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}). Portanto a unidade de força (Newton) é
1\\ \mathrm{N}=1\\ \mathrm{kg}\cdot 1\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}.
Expliquei: multiplico as unidades de massa e aceleração (igual ao que fazemos com números).

Passo 4

Uso a definição de Joule para reforçar a consistência (opcional, mas didático). Trabalho/energia é W=F\cdot d, onde d é deslocamento (unidade \mathrm{m}). Assim
1\\ \mathrm{J}=1\\ \mathrm{N}\cdot 1\\ \mathrm{m}.
Substituindo a unidade de \mathrm{N} que achamos no Passo 3:
1\\ \mathrm{J}=(\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2})\cdot \mathrm{m}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}.
Isto mostra como as unidades se combinam em física (só para reforçar que estamos sendo consistentes).

Passo 5

Volto ao que interessa: Pascal é unidade de pressão definida como força por área. Ou seja
1\\ \mathrm{Pa}=1\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^{2}}=1\\ \mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-2}.
Expliquei: pressão = força dividida por área; a unidade de área é \mathrm{m}^{2}.

Passo 6

Substituo a unidade de \mathrm{N} (obtida no Passo 3) dentro da definição de \mathrm{Pa}:
1\\ \mathrm{Pa}=(\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2})\cdot \mathrm{m}^{-2}.
Agora faço a álgebra com os expoentes das unidades de comprimento \mathrm{m}: \mathrm{m}\cdot \mathrm{m}^{-2}=\mathrm{m}^{-1}. Mantendo \mathrm{kg} e \mathrm{s}^{-2}, obtemos
1\\ \mathrm{Pa}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}.
Em forma de fração isto é exatamente
1\\ \mathrm{Pa}=\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{2}}.
Expliquei passo a passo como combinei as unidades (multiplicação e subtração de expoentes).

Passo 7

Resumo final do raciocínio de forma curta e amigável: começamos com aceleração \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}, usamos F=ma para ver que \mathrm{N}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}, usamos \mathrm{Pa}=\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-2} e fizemos as contas de expoentes para chegar em \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}. Vai dar tudo certo na prova — você só precisa lembrar dessa cadeia de definições e de como manipular unidades.

Resposta

\mathrm{Pa}=\dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{2}}

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