O que é o trabalho extraído da turbina ( \mathrm{W}_{\text {turbina,extraído }}í )? Como ele se relaciona ao trabalho de energia gerado pela turbina ( \mathrm{W}_{\text {elétrica }}é )? Como ele se relaciona à carga extraída da turbina ( \mathrm{h}_{\text {turbina, extraído }}í )?

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  1. O que é o trabalho extraído da turbina \mathrm{W}_{\text{turbina,extraído}}í.
  2. Como esse trabalho se relaciona com o trabalho de energia gerado eletricamente \mathrm{W}_{\text{elétrica}}é.
  3. Como ele se relaciona com a carga (carga hidráulica / “head”) extraída da turbina \mathrm{h}_{\text{turbina,extraído}}í.
Informações e símbolos úteis que usaremos (vou defini-los para não te deixar perdido):
  • \dot m: vazão mássica do fluido [kg/s].
  • \rho: densidade do fluido [kg/m³].
  • Q: vazão volumétrica [m³/s], com \dot m=\rho Q.
  • g: aceleração da gravidade [m/s²] (usar g\approx 9{,}81 m/s² em contas).
  • \mathrm{h}_{\text{turbina,extraído}}í: carga ou “head” extraída pela turbina. Pode estar expressa de duas formas comuns:
    • como altura H em metros (m) — muitas vezes chamada apenas de “head” em m;
    • ou como energia específica por unidade de massa (J/kg), que é numericamente gH.
  • \eta: eficiência (pode ser da turbina, do gerador, ou a eficiência global do sistema).
  • Para potências usamos \dot W (trabalho por segundo = potência) e para trabalhos por unidade de massa usamos w.
Agora que sabemos o que queremos e quais símbolos vamos usar, vamos para a resolução e explicação passo a passo.

Passo 2

O que é, fisicamente, \mathrm{W}_{\text{turbina,extraído}}í.
Explicação didática: a turbina retira energia do fluido (por exemplo, água em uma usina hidrelétrica) e converte essa energia hidráulica em trabalho mecânico no eixo. O termo “trabalho extraído da turbina” normalmente refere-se à potência retirada do fluido, isto é, a taxa de energia que sai do fluido e aparece no eixo da turbina (antes das perdas mecânicas e da conversão elétrica). Em termos simples: é a potência hidráulica que a turbina consegue captar do escoamento.
Sinal e convenção: na equação de energia do fluido, costuma-se considerar o trabalho extraído como um termo negativo (porque a energia do fluido diminui), mas quando falamos da potência disponível no eixo da turbina escrevemos esse valor como positivo e o chamamos de \dot W_{\text{turbina,extraído}}í.

Passo 3

Relação entre trabalho extraído e carga (head) — fórmula principal.
Se \mathrm{h}_{\text{turbina,extraído}}í for a carga em metros (vamos chamar de H para ficar claro), a potência hidráulica extraída do fluido é dada por:
\dot W_{\text{turbina,extraído}} = \rho\, Q\, g\, H.í
Se usarmos vazão mássica \dot m, a mesma fórmula fica:
\dot W_{\text{turbina,extraído}} = \dot m\, g\, H.í
Outra forma muito usada é trabalhar com energia específica por unidade de massa (J/kg). Se definirmos
h_{\text{específico}} = g H \quad\text{(J/kg)},í
então a potência por unidade de massa é:
w_{\text{turbina,extraído}} = h_{\text{específico}} = g H,íí
e a potência total é
\dot W_{\text{turbina,extraído}} = \dot m \, h_{\text{específico}}.íí
Aqui explico cada termo:
  • \rho Q é a vazão mássica \dot m [kg/s].
  • gH é a energia potencial convertida por quilograma de fluido (J/kg).
  • O produto \dot m \, gH dá J/s = W, que é potência.
Resumo: se “carga” for dada em metros, multiplica por g e por \dot m (ou \rho Q) para obter potência.

Passo 4

Relação entre trabalho extraído da turbina e a potência elétrica gerada \mathrm{W}_{\text{elétrica}}é.
A turbina entrega potência mecânica ao eixo; depois dessa potência ocorrem perdas mecânicas (atrito, mancais) e há a conversão mecânico→elétrico pelo gerador, que também tem eficiência. Por isso a potência elétrica é menor que a potência extraída do fluido. A relação geral é:
\dot W_{\text{elétrica}} = \eta_{\text{sistema}} \; \dot W_{\text{turbina,extraído}},éí
onde \eta_{\text{sistema}} é a eficiência global (produto das eficiências componentes). Se quisermos separar as eficiências da turbina e do gerador:
\dot W_{\text{elétrica}} = \eta_{\text{turbina}} \; \eta_{\text{mec}} \; \eta_{\text{gerador}} \; (\rho Q g H),é
ou de forma compacta, se \eta for a eficiência total,
\dot W_{\text{elétrica}} = \eta \; \rho Q g H.é
Explicando as eficiências:
  • \eta_{\text{turbina}}: fração da energia hidráulica que a turbina converte em energia mecânica no eixo.
  • \eta_{\text{mec}}: perdas mecânicas no eixo e acoplamentos.
  • \eta_{\text{gerador}}: eficiência de conversão mecânico→elétrico.
    Na prática costuma-se usar uma única eficiência global \eta (por exemplo 0{,}85 ou 0{,}90 dependendo do equipamento) e então:
\dot W_{\text{elétrica}} \approx \eta\,\rho Q g H.é

Passo 5

Exemplo numérico passo a passo (para fixar a ideia).
Suponha:
  • Q = 2\\ \mathrm{m^3/s},
  • \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3} (água),
  • H = 50\\ \mathrm{m},
  • g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},
  • eficiência global \eta = 0{,}855 (produto de eficiências).
Calculamos a potência hidráulica disponível (trabalho extraído do fluido):
\dot W_{\text{turbina,extraído}} = \rho Q g H = 1000\cdot 2 \cdot 9{,}81 \cdot 50 = 981000\\ \mathrm{W} = 981\\ \mathrm{kW}.í
A potência elétrica gerada (após perdas):
\dot W_{\text{elétrica}} = \eta \cdot \dot W_{\text{turbina,extraído}} = 0{,}855\cdot 981000 \approx 838455\\ \mathrm{W}\approx 838{,}5\\ \mathrm{kW}.éí
Também podemos obter a “carga específica” em J/kg:
h_{\text{específico}} = gH = 9{,}81\cdot 50 = 490{,}5\\ \mathrm{J/kg}.í
E então \dot W_{\text{turbina,extraído}} = \dot m \, h_{\text{específico}}íí, com \dot m=\rho Q=2000\\ \mathrm{kg/s}: 2000\cdot 490{,}5=981000\\ \mathrm{W}, mesmo resultado.

Passo 6

Dicas rápidas para prova (e para não se confundir):
  • Sempre cheque unidades: \rho Q g H → kg/m³·m³/s·m/s²·m = kg·m²/s³ = W. Se der outra unidade, há algo errado.
  • Se a carga \mathrm{h}_{\text{turbina,extraído}}í for dada em metros, lembre-se do fator g para converter em J/kg: h_{\text{específico}} = gHí.
  • Use \dot m=\rho Q quando te derem Q em vez de \dot m.
  • Coloque as eficiências depois de calcular a potência hidráulica; não diminua o head por eficiência — a eficiência atua sobre potência, não sobre a altura diretamente.
  • Sobre sinal: no balanço de energia do fluido o trabalho extraído aparece como perda; na conta de potência no eixo aparece como valor positivo (potência disponível).
Você consegue — respira fundo e usa as fórmulas acima na prova. Se quiser, eu repito com um outro exemplo ou com símbolos que aparecem no seu enunciado (se vierem diferentes).

Resposta

\mathrm{W}_{\text{turbina,extraído}}í é a potência retirada do fluido pela turbina (potência mecânica no eixo); numericamente, se a carga extraída é dada em metros H,
\dot W_{\text{turbina,extraído}}=\rho Q g H=\dot m\,gH.í
A potência elétrica gerada relaciona-se por uma eficiência global \eta:
\dot W_{\text{elétrica}}=\eta\,\dot W_{\text{turbina,extraído}}=\eta\,\rho Q g H.éí
A relação direta com a carga extraída \mathrm{h}_{\text{turbina,extraído}}í (quando expressa como energia específica h_{\text{específico}}=gHí em J/kg) é
\dot W_{\text{turbina,extraído}}=\dot m\,h_{\text{específico}}=\dot m\,gH.íí

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