O que é trabalho útil da bomba ( \mathrm{W}_{\text {bomba,útil }}ú )? Como ele se relaciona à entrada de potência na bomba ( \mathrm{W}_{\text {bomba,eixo }} )? Como ele se relaciona com a carga útil da bomba ( \mathrm{h}_{\text {bomba, útil }}ú )?

Passo 1

O enunciado pede três coisas: entender (1) o que é o trabalho útil da bomba \mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}ú; (2) como ele se relaciona à potência de entrada na bomba (potência no eixo) \mathrm{W}_{\text{bomba,eixo}}; e (3) como ele se relaciona com a carga útil da bomba \mathrm{h}_{\text{bomba,útil}}ú.\n
As quantidades que vamos usar/ligar são: a vazão volumétrica Q (em \mathrm{m^3/s}), a massa específica do fluido \rho (em \mathrm{kg/m^3}), a gravidade g (em \mathrm{m/s^2}), a carga (head) \mathrm{h}_{\text{bomba,útil}}ú (em \mathrm{m}), a potência útil fornecida ao fluido \mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}ú (em \mathrm{W}), a potência no eixo \mathrm{W}_{\text{bomba,eixo}} (em \mathrm{W}) e a eficiência da bomba \eta_{\text{bomba}} (adimensional).\n
A resolução explicativa começa no próximo passo.

Passo 2

Definição física e fórmula básica do trabalho útil da bomba.\n
O trabalho útil da bomba \mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}ú é a potência efetivamente entregue pelo conjunto da bomba ao fluido — isto é, a energia por unidade de tempo que o fluido recebe para aumentar sua energia de pressão, cinética e potencial (basicamente a energia hidráulica aumentada pelo escoamento). Em fluxo permanente, podemos escrever a potência útil como energia por unidade de massa multiplicada pela massa que passa por segundo.\n
A energia por unidade de massa associada à carga útil é g\,\mathrm{h}_{\text{bomba,útil}}ú (energia por massa: \mathrm{m^2/s^2}). A massa que passa por segundo é \dot{m}=\rho Q. Portanto:\n
\mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}=\dot{m}\,g\,\mathrm{h}_{\text{bomba,útil}}=\rho\,Q\,g\,\mathrm{h}_{\text{bomba,útil}}.úúú
Explanação dos símbolos:\n
  • \mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}ú: potência útil (watts, \mathrm{W}).\n
  • \rho: massa específica do fluido ( \mathrm{kg/m^3}).\n
  • Q: vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}).\n
  • g: aceleração da gravidade (tipicamente g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).\n
  • \mathrm{h}_{\text{bomba,útil}}ú: carga útil (metros, \mathrm{m}), que é a elevação de energia por unidade de peso que a bomba fornece ao fluido.\n
    Unidades checam: \rho Q g h tem unidades (\mathrm{kg/m^3})(\mathrm{m^3/s})(\mathrm{m/s^2})(\mathrm{m}) = \mathrm{kg\,m^2/s^3} = \mathrm{W}.

Passo 3

Relação entre potência útil e potência no eixo (entrada da bomba) — eficiência.\n
Nem toda a potência que o motor fornece ao eixo vira energia no fluido: parte se perde por atritos internos, aquecimento, perdas hidráulicas, vazamentos, etc. A forma prática de relacionar potência útil e potência no eixo é pela eficiência global da bomba \eta_{\text{bomba}}, definida como a razão entre a potência entregue ao fluido e a potência que entra no eixo:\n
\eta_{\text{bomba}}=\frac{\mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}}{\mathrm{W}_{\text{bomba,eixo}}}.ú
Dessa definição seguem relações operacionais úteis:\n
\mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}=\eta_{\text{bomba}}\;\mathrm{W}_{\text{bomba,eixo}}, \qquad \mathrm{W}_{\text{bomba,eixo}}=\frac{\mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}}{\eta_{\text{bomba}}}.úú
Interpretação: se \eta_{\text{bomba}}=0{,}75 e a bomba entrega \mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}=1500\\ \mathrm{W}ú ao fluido, então a potência no eixo foi \mathrm{W}_{\text{bomba,eixo}}=1500/0{,}75=2000\\ \mathrm{W}. As perdas são \mathrm{W}_{\text{bomba,eixo}}-\mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}ú.

Passo 4

O que é exatamente a carga útil da bomba \mathrm{h}_{\text{bomba,útil}}ú e sua expressão.\n
A carga útil da bomba é o ganho de energia por unidade de peso (por unidade de massa vezes g) que o fluido adquire atravessando a bomba, isto é, a diferença de cabeça (piezométrica total) entre saída e entrada da bomba. Pela forma da equação de energia (Bernoulli estendida), para escoamento incompressível e convencionalmente desprezando efeitos de trabalho de eixos externos além da bomba, podemos escrever:\n
\mathrm{h}_{\text{bomba,útil}}=\frac{p_2-p_1}{\rho g}+\frac{v_2^2-v_1^2}{2g}+(z_2-z_1),ú
onde:\n
  • p_1,p_2 são pressões (Pa) na entrada e saída,\n
  • v_1,v_2 são velocidades médias (m/s) nas seções de entrada e saída,\n
  • z_1,z_2 são as elevações geométricas (m) das seções.\n
    Explicação física: cada termo representa uma forma de energia por unidade de peso — pressão, energia cinética e energia potencial gravitacional — e a soma é a cabeça total adquirida pelo fluido.

Passo 5

Combinação prática das fórmulas — como ligar tudo na prova.\n
Substituindo a expressão de \mathrm{h}_{\text{bomba,útil}}ú na fórmula de potência útil obtemos a expressão completa:\n
\mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}=\rho g Q \,\mathrm{h}_{\text{bomba,útil}} =\rho g Q\!\left(\frac{p_2-p_1}{\rho g}+\frac{v_2^2-v_1^2}{2g}+(z_2-z_1)\right).úú
Isso simplifica (quando for conveniente) para calcular cada contribuição separada (pressão, velocidade, elevação).\n
E usando a eficiência:\n
\mathrm{W}_{\text{bomba,eixo}}=\frac{\rho g Q\,\mathrm{h}_{\text{bomba,útil}}}{\eta_{\text{bomba}}}.ú
Na prova: se te der Q e h_{\text{bomba,útil}}ú, usa \mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}=\rho g Q hú. Se te der pressões/velocidades/elev., calcula h com a fórmula do passo anterior e então a potência. Se te der \mathrm{W}_{\text{bomba,eixo}} e \eta_{\text{bomba}}, acha \mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}ú por multiplicação direta.

Passo 6

Exemplo numérico simples (para ver como aplicar sem preguiça):\n
Suponha \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, Q=0{,}01\\ \mathrm{m^3/s} (10 L/s), g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, \mathrm{h}_{\text{bomba,útil}}=20\\ \mathrm{m}ú, e \eta_{\text{bomba}}=0{,}80.\n
Calcule a potência útil:\n
\mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}=\rho g Q h=1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}01\cdot 20=1962\\ \mathrm{W}.ú
Potência no eixo necessária:\n
\mathrm{W}_{\text{bomba,eixo}}=\frac{1962}{0{,}80}=2452{,}5\\ \mathrm{W}.
Perda na bomba: 2452{,}5-1962=490{,}5\\ \mathrm{W}.\n
Isso mostra o fluxo prático: calcular h → calcular \mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}=\rho g Q hú → relacionar com \mathrm{W}_{\text{bomba,eixo}} por \eta.

Passo 7

Observações práticas finais e dicas para prova (rápidas e amigáveis).\n
  • Sempre cheque unidades: \rho em \mathrm{kg/m^3}, Q em \mathrm{m^3/s}, g em \mathrm{m/s^2}, h em \mathrm{m} → resultado em \mathrm{W}.\n
  • Se te der vazão em \mathrm{L/s}, converta: 1\\ \mathrm{L/s}=10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.\n
  • Lembre que \eta_{\text{bomba}} é adimensional e normalmente menor que 1; valores típicos comerciais ficam entre 0{,}6 e 0{,}9 dependendo do tipo e condição de operação.\n
  • Na prova, antes de fazer contas, identifique se te deram \mathrm{h}_{\text{bomba,útil}}ú direto ou se precisa calculá-la a partir de diferenças de pressão/velocidade/elevação. Isso economiza tempo.\n
    Força aí — segue o roteiro e você resolve qualquer questão prática de bomba numa boa!

Resposta

\mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}=\rho\,g\,Q\,\mathrm{h}_{\text{bomba,útil}}úú\n
\eta_{\text{bomba}}=\dfrac{\mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}}{\mathrm{W}_{\text{bomba,eixo}}}\quad\Rightarrow\quad \mathrm{W}_{\text{bomba,eixo}}=\dfrac{\mathrm{W}_{\text{bomba,útil}}}{\eta_{\text{bomba}}}úú\n
\mathrm{h}_{\text{bomba,útil}}=\dfrac{p_2-p_1}{\rho g}+\dfrac{v_2^2-v_1^2}{2g}+(z_2-z_1)ú

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