Mostre, usando a definição de derivada, que a função
não é derivável em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de derivada, que a função
não é derivável em
. Ou seja, precisamos analisar o limite
e verificar se ele existe e é finito.
Passo 2
Primeiro, note que
Portanto o quociente de diferença em torno de
fica
Passo 3
Simplificando o quociente de diferença, temos
Passo 4
Agora analisamos o limite quando
.
Para ,
Para
Para
, note que
é positivo, logo
Em ambos os lados o quociente diverge para
, não existe um número real finito.
Passo 5
Pela definição,
é derivável em
somente se
existe e é finito. Aqui esse limite diverge, logo
não é derivável em
.
Resposta
A função
não é derivável em
porque o quociente de diferença tende a infinito.