Mostre, usando a definição de derivada, que a função y=\sqrt[3]{x} não é derivável em x=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de derivada, que a função
f(x)=\sqrt[3]{x}
não é derivável em x=0. Ou seja, precisamos analisar o limite
\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
e verificar se ele existe e é finito.

Passo 2

Primeiro, note que
f(0)=\sqrt[3]{0}=0.
Portanto o quociente de diferença em torno de 0 fica
\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\frac{\sqrt[3]{h}-0}{h}.

Passo 3

Simplificando o quociente de diferença, temos
\frac{\sqrt[3]{h}}{h} =\frac{h^{1/3}}{h} =h^{-2/3}.

Passo 4

Agora analisamos o limite quando h\to0.
Para h\to0^+,
h^{-2/3}=\frac{1}{h^{2/3}}\;\longrightarrow\;+\infty.
Para h\to0^-, note que h^{2/3}=\bigl(h^2\bigr)^{1/3} é positivo, logo
h^{-2/3}=\frac{1}{(h^2)^{1/3}}\;\longrightarrow\;+\infty.
Em ambos os lados o quociente diverge para +\infty, não existe um número real finito.

Passo 5

Pela definição, f é derivável em 0 somente se
\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
existe e é finito. Aqui esse limite diverge, logo f não é derivável em x=0.

Resposta

A função y=\sqrt[3]{x} não é derivável em x=0 porque o quociente de diferença tende a infinito.

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