Mostre, utilizando o Princípio da Indução Finita, a validade das seguintes afirmações:
1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}, para todo n \in \mathbb{N}^{*}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}^{*}, vale a igualdade
1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A soma dos cubos dos primeiros n naturais aparece no lado esquerdo.
  • O lado direito é o quadrado do número triangular \frac{n(n+1)}{2}.
  • A tarefa é provar que essa igualdade é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}^{*} (isto é, n=1,2,3,\dots).

Passo 2

Antes de começar a prova, vamos entender a ideia do método que vamos usar (vou explicar como funciona com calma). A prova por indução finita tem duas etapas fundamentais:
  1. Base (ou caso inicial): verificar que a igualdade vale para um primeiro valor de n, normalmente n=1.
  2. Passo indutivo: assumir que a igualdade vale para um certo n=k (essa suposição é chamada de hipótese de indução) e, a partir disso, mostrar que ela também vale para n=k+1. Se esses dois passos funcionarem, o Princípio da Indução Finita garante que a igualdade vale para todo n\in\mathbb{N}^{*}.
Vou aplicar essas duas etapas de forma bem detalhada.

Passo 3

Base da indução: verificar para n=1.
Calcule o lado esquerdo para n=1:
1^{3}=1.
Calcule o lado direito para n=1:
\left(\frac{1\cdot(1+1)}{2}\right)^{2}=\left(\frac{1\cdot 2}{2}\right)^{2}=\left(1\right)^{2}=1.
Como os dois lados são iguais ( 1=1), a igualdade é verdadeira para n=1. A base está confirmada.

Passo 4

Hipótese de indução: seja k\in\mathbb{N}^{*} arbitrário. Suponha que a fórmula seja verdadeira para n=k; isto é, suponha que
1^{3}+2^{3}+\cdots+k^{3}=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}.
Esta suposição é a hipótese de indução e usaremos ela para provar o caso k+1.

Passo 5

Passo indutivo: provar que a igualdade vale para n=k+1.
Começamos escrevendo a soma até k+1 como a soma até k mais o termo (k+1)^{3}:
1^{3}+2^{3}+\cdots+k^{3}+(k+1)^{3}=\bigl(1^{3}+2^{3}+\cdots+k^{3}\bigr)+(k+1)^{3}.
Agora substituímos a soma até k pela hipótese de indução:
\bigl(1^{3}+2^{3}+\cdots+k^{3}\bigr)+(k+1)^{3}=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}+(k+1)^{3}.
Vamos manipular essa expressão passo a passo. Primeiro escrevemos a primeira parcela como uma fração:
\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}.
Então
\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}.
Fatoramos (k+1)^{2} em comum:
\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=(k+1)^{2}\left(\frac{k^{2}}{4}+(k+1)\right).
Agora colocamos a soma dentro do parêntese sobre um denominador comum 4:
\frac{k^{2}}{4}+(k+1)=\frac{k^{2}}{4}+\frac{4(k+1)}{4}=\frac{k^{2}+4k+4}{4}.
Observando que k^{2}+4k+4=(k+2)^{2}, obtemos
\frac{k^{2}+4k+4}{4}=\frac{(k+2)^{2}}{4}.
Substituindo de volta:
(k+1)^{2}\left(\frac{(k+2)^{2}}{4}\right)=\frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}.
Finalmente, escrevendo como um quadrado de uma única fração:
\frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}=\left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^{2}.
Portanto mostramos que
1^{3}+2^{3}+\cdots+k^{3}+(k+1)^{3}=\left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^{2},
ou seja, a fórmula vale para n=k+1.

Passo 6

Como verificamos a base ( n=1) e provamos que, sempre que a fórmula vale para n=k então vale também para n=k+1, pelo Princípio da Indução Finita a igualdade é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}^{*}.
Uma checagem numérica rápida para ver que faz sentido: para n=3,
1^{3}+2^{3}+3^{3}=1+8+27=36
e
\left(\frac{3\cdot 4}{2}\right)^{2}=\left(\frac{12}{2}\right)^{2}=6^{2}=36,
ao que confere.

Resposta

\;1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2} para todo n\in\mathbb{N}^{*}.

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