Mostre, utilizando o Princípio da Indução Finita, a validade das seguintes afirmações:
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, vale a igualdade
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A soma dos cubos dos primeiros
naturais aparece no lado esquerdo. - O lado direito é o quadrado do número triangular
. - A tarefa é provar que essa igualdade é verdadeira para todo
(isto é, ).
Passo 2
Antes de começar a prova, vamos entender a ideia do método que vamos usar (vou explicar como funciona com calma). A prova por indução finita tem duas etapas fundamentais:
- Base (ou caso inicial): verificar que a igualdade vale para um primeiro valor de
, normalmente . - Passo indutivo: assumir que a igualdade vale para um certo
(essa suposição é chamada de hipótese de indução) e, a partir disso, mostrar que ela também vale para . Se esses dois passos funcionarem, o Princípio da Indução Finita garante que a igualdade vale para todo .
Vou aplicar essas duas etapas de forma bem detalhada.
Passo 3
Base da indução: verificar para
.
Calcule o lado esquerdo para
:
Calcule o lado direito para
:
Como os dois lados são iguais (
), a igualdade é verdadeira para
. A base está confirmada.
Passo 4
Hipótese de indução: seja
arbitrário. Suponha que a fórmula seja verdadeira para
; isto é, suponha que
Esta suposição é a hipótese de indução e usaremos ela para provar o caso
.
Passo 5
Passo indutivo: provar que a igualdade vale para
.
Começamos escrevendo a soma até
como a soma até
mais o termo
:
Agora substituímos a soma até
pela hipótese de indução:
Vamos manipular essa expressão passo a passo. Primeiro escrevemos a primeira parcela como uma fração:
Então
Fatoramos
em comum:
Agora colocamos a soma dentro do parêntese sobre um denominador comum
:
Observando que
, obtemos
Substituindo de volta:
Finalmente, escrevendo como um quadrado de uma única fração:
Portanto mostramos que
ou seja, a fórmula vale para
.
Passo 6
Como verificamos a base (
) e provamos que, sempre que a fórmula vale para
então vale também para
, pelo Princípio da Indução Finita a igualdade é verdadeira para todo
.
Uma checagem numérica rápida para ver que faz sentido: para
,
e
ao que confere.