Mostre, utilizando o Princípio da Indução Finita, a validade das seguintes afirmações:
é múltiplo de 24 , para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a expressão
é múltiplo de
para todo
Informações fornecidas: é um inteiro com
Objetivo claro: provar que, para cada , existe um inteiro
tal que
Informações fornecidas:
Objetivo claro: provar que, para cada
Passo 2
Explicação do método (Princípio da Indução Finita) — aula curta e prática:
O princípio da indução diz que, para provar uma propriedade para todo inteiro
, basta fazer duas etapas:
O princípio da indução diz que, para provar uma propriedade
- Base: provar
. - Passo indutivo: assumir
verdadeira para um (hipótese de indução) e então provar .
Se esses dois passos são feitos, entãovale para todo .
Aquié a afirmação “ é múltiplo de ”.
Passo 3
Base da indução (
): calcular e verificar.
Como
é claramente múltiplo de
, a propriedade
é verdadeira.
Passo 4
Hipótese de indução: suponha que para algum
vale que
é múltiplo de
.
Isto significa que existe um inteiro tal que
Isto significa que existe um inteiro
Vou usar essa hipótese para provar o caso
.
Passo 5
Passo indutivo — provar que
é múltiplo de
.
Começamos manipulando a expressão:
Começamos manipulando a expressão:
Agora escrevo
como
(truque útil):
Pela hipótese de indução temos
. Substituindo:
O produto
mostra que
é múltiplo de
, pois é
vezes um inteiro. Isso completa o passo indutivo.
Passo 6
Conclusão da indução: como a propriedade é verdadeira para
e o passo indutivo foi provado, pelo Princípio da Indução Finita a afirmação vale para todo
. Parabéns — já mostramos o que era pedido!