Mostre, utilizando o Princípio da Indução Finita, a validade das seguintes afirmações:
5^{2 n}-1 é múltiplo de 24 , para todo n \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a expressão \,5^{2n}-1\, é múltiplo de 24 para todo n\geq 1.
Informações fornecidas: n é um inteiro com \,n\geq 1.
Objetivo claro: provar que, para cada n\ge1, existe um inteiro t tal que \,5^{2n}-1=24t.

Passo 2

Explicação do método (Princípio da Indução Finita) — aula curta e prática:
O princípio da indução diz que, para provar uma propriedade P(n) para todo inteiro n\ge1, basta fazer duas etapas:
  1. Base: provar P(1).
  2. Passo indutivo: assumir P(k) verdadeira para um k\ge1 (hipótese de indução) e então provar P(k+1).
    Se esses dois passos são feitos, então P(n) vale para todo n\ge1.
    Aqui P(n) é a afirmação “ 5^{2n}-1 é múltiplo de 24”.

Passo 3

Base da indução ( n=1): calcular e verificar.
5^{2\cdot 1}-1 = 5^{2}-1 = 25-1 = 24.
Como 24 é claramente múltiplo de 24, a propriedade P(1) é verdadeira.

Passo 4

Hipótese de indução: suponha que para algum k\ge1 vale que \,5^{2k}-1 é múltiplo de 24.
Isto significa que existe um inteiro m tal que
5^{2k}-1 = 24m.
Vou usar essa hipótese para provar o caso k+1.

Passo 5

Passo indutivo — provar que \,5^{2(k+1)}-1 é múltiplo de 24.
Começamos manipulando a expressão:
5^{2(k+1)}-1 = 5^{2k+2}-1 = 5^{2k}\cdot 5^{2} -1 = 25\cdot 5^{2k} -1.
Agora escrevo 25 como 24+1 (truque útil):
25\cdot 5^{2k} -1 = (24+1)\cdot 5^{2k} -1 = 24\cdot 5^{2k} + 5^{2k}-1.
Pela hipótese de indução temos 5^{2k}-1 = 24m. Substituindo:
24\cdot 5^{2k} + 5^{2k}-1 = 24\cdot 5^{2k} + 24m = 24\bigl(5^{2k}+m\bigr).
O produto 24\bigl(5^{2k}+m\bigr) mostra que \,5^{2(k+1)}-1 é múltiplo de 24, pois é 24 vezes um inteiro. Isso completa o passo indutivo.

Passo 6

Conclusão da indução: como a propriedade é verdadeira para n=1 e o passo indutivo foi provado, pelo Princípio da Indução Finita a afirmação vale para todo n\ge1. Parabéns — já mostramos o que era pedido!

Resposta

5^{2n}-1 é múltiplo de 24 para todo n\geq 1.

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