Mostre, utilizando o teorema do valor intermediário, que
possui três raízes reais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando o teorema do valor intermediário, que a equação
possui três raízes reais. As informações que temos são a expressão do polinômio (vamos chamá-lo de
):
O que devemos fazer: justificar, com o Teorema do Valor Intermediário (TVI), a existência de três pontos distintos
tais que
.
Passo 2
Vou lembrar e explicar o Teorema do Valor Intermediário de forma simples e direta:
- Teorema do Valor Intermediário (TVI): se uma função
é contínua num intervalo fechado e e têm sinais opostos (ou seja, ), então existe pelo menos um ponto tal que . - Por que podemos aplicar o TVI aqui? Porque
é um polinômio e todo polinômio é contínuo em toda a reta. Portanto, para qualquer par podemos aplicar o TVI se encontrarmos e com sinais opostos.
Agora o plano: avaliar
em alguns pontos inteiros sequenciais e procurar trocas de sinal em intervalos disjuntos. Cada troca de sinal dará, pelo TVI, pelo menos uma raiz naquele intervalo.
Passo 3
Calcular
e
passo a passo:
Fazendo as contas:
Portanto
Agora
:
Continuando:
Logo
Como
e
, pelos TVI existe pelo menos um
tal que
. Assim obtemos uma raiz no intervalo
.
Passo 4
Calcular
(já feito:
) e
:
Agora:
Portanto
Vimos que
e
. Como há mudança de sinal entre
e
, pelo TVI existe pelo menos um
com
. Assim temos uma segunda raiz no intervalo
.
Passo 5
Calcular
(já feito:
) e
:
Fazendo:
Logo
Como
e
, pelo TVI existe pelo menos um
tal que
. Assim obtemos uma terceira raiz no intervalo
.
Passo 6
Juntando os resultados:
- Existe uma raiz
. - Existe uma raiz
. - Existe uma raiz
.
Os três intervalos
,
e
são disjuntos, portanto as raízes encontradas são distintas. Além disso, como
é um polinômio de grau
, ele pode ter no máximo três raízes reais (contando multiplicidade). Como já encontramos três raízes reais distintas, concluímos que a equação tem exatamente três raízes reais.
Resposta
A equação possui três raízes reais: uma em
, outra em
e outra em
.