Mostre, utilizando o teorema do valor intermediário, que 27 x^{3}-216 x^{2}+549 x-440=0 possui três raízes reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o teorema do valor intermediário, que a equação
27x^{3}-216x^{2}+549x-440=0
possui três raízes reais. As informações que temos são a expressão do polinômio (vamos chamá-lo de f):
f(x)=27x^{3}-216x^{2}+549x-440.
O que devemos fazer: justificar, com o Teorema do Valor Intermediário (TVI), a existência de três pontos distintos x tais que f(x)=0.

Passo 2

Vou lembrar e explicar o Teorema do Valor Intermediário de forma simples e direta:
  • Teorema do Valor Intermediário (TVI): se uma função g é contínua num intervalo fechado [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (ou seja, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
  • Por que podemos aplicar o TVI aqui? Porque f é um polinômio e todo polinômio é contínuo em toda a reta. Portanto, para qualquer par [a,b] podemos aplicar o TVI se encontrarmos f(a) e f(b) com sinais opostos.
Agora o plano: avaliar f em alguns pontos inteiros sequenciais e procurar trocas de sinal em intervalos disjuntos. Cada troca de sinal dará, pelo TVI, pelo menos uma raiz naquele intervalo.

Passo 3

Calcular f(1) e f(2) passo a passo:
f(1)=27\cdot1^{3}-216\cdot1^{2}+549\cdot1-440=27-216+549-440.
Fazendo as contas:
27-216=-189,\qquad -189+549=360,\qquad 360-440=-80.
Portanto
f(1)=-80<0.
Agora f(2):
f(2)=27\cdot2^{3}-216\cdot2^{2}+549\cdot2-440=27\cdot8-216\cdot4+1098-440.
Continuando:
27\cdot8=216,\qquad 216\cdot4=864,
216-864=-648,\qquad -648+1098=450,\qquad 450-440=10.
Logo
f(2)=10>0.
Como f(1)<0 e f(2)>0, pelos TVI existe pelo menos um c_{1}\in(1,2) tal que f(c_{1})=0. Assim obtemos uma raiz no intervalo (1,2).

Passo 4

Calcular f(2) (já feito: f(2)=10) e f(3):
f(3)=27\cdot3^{3}-216\cdot3^{2}+549\cdot3-440=27\cdot27-216\cdot9+1647-440.
Agora:
27\cdot27=729,\qquad 216\cdot9=1944,
729-1944=-1215,\qquad -1215+1647=432,\qquad 432-440=-8.
Portanto
f(3)=-8<0.
Vimos que f(2)=10>0 e f(3)=-8<0. Como há mudança de sinal entre 2 e 3, pelo TVI existe pelo menos um c_{2}\in(2,3) com f(c_{2})=0. Assim temos uma segunda raiz no intervalo (2,3).

Passo 5

Calcular f(3) (já feito: f(3)=-8) e f(4):
f(4)=27\cdot4^{3}-216\cdot4^{2}+549\cdot4-440=27\cdot64-216\cdot16+2196-440.
Fazendo:
27\cdot64=1728,\qquad 216\cdot16=3456,
1728-3456=-1728,\qquad -1728+2196=468,\qquad 468-440=28.
Logo
f(4)=28>0.
Como f(3)=-8<0 e f(4)=28>0, pelo TVI existe pelo menos um c_{3}\in(3,4) tal que f(c_{3})=0. Assim obtemos uma terceira raiz no intervalo (3,4).

Passo 6

Juntando os resultados:
  • Existe uma raiz c_{1}\in(1,2).
  • Existe uma raiz c_{2}\in(2,3).
  • Existe uma raiz c_{3}\in(3,4).
Os três intervalos (1,2), (2,3) e (3,4) são disjuntos, portanto as raízes encontradas são distintas. Além disso, como f é um polinômio de grau 3, ele pode ter no máximo três raízes reais (contando multiplicidade). Como já encontramos três raízes reais distintas, concluímos que a equação tem exatamente três raízes reais.

Resposta

A equação possui três raízes reais: uma em (1,2), outra em (2,3) e outra em (3,4).

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