Se G \simeq G^{\prime} e G é cíclico, mostre que G^{\prime} também é cíclico.

Passo 1

O enunciado diz que G \simeq G' e que G é cíclico. O que precisa ser mostrado é: G' também é cíclico.
Informações relevantes:
  • Há um isomorfismo de grupos entre G e G'; isto é, existe uma aplicação \varphi\colon G\to G' que é bijetora e homomorfismo.
  • G é cíclico; isso significa que existe g\in G tal que G=\langle g\rangle=\{g^{n}: n\in\mathbb{Z}\}.

Passo 2

Vou lembrar claramente o significado dos conceitos que vou usar (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Definição de grupo cíclico: Um grupo G é chamado cíclico se existe um elemento g\in G (chamado gerador) tal que todo elemento de G é uma potência inteira de g. Em símbolos: G=\langle g\rangle=\{g^n : n\in\mathbb{Z}\}. Aqui g^n significa multiplicar g consigo mesmo n vezes se n>0, usar g^{-1} quando n<0, e g^0 é a identidade do grupo.
  • Definição de isomorfismo de grupos: Uma aplicação \varphi\colon G\to G' é um isomorfismo se (i) é homomorfismo, isto é, para todos a,b\in G vale \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b); e (ii) é bijetora (injetora e sobrejetora). Se existe um isomorfismo, escrevemos G\simeq G'.

Passo 3

Estabeleço a notação e o que vou provar especificamente: seja \varphi\colon G\to G' um isomorfismo (já sabemos que existe porque G\simeq G'). Seja g\in G um gerador de G, ou seja G=\langle g\rangle. Quero mostrar que \varphi(g) gera G', isto é, G'=\langle \varphi(g)\rangle.
Antes de provar, explico por que podemos manipular potências pelo isomorfismo: como \varphi é homomorfismo, para todo inteiro n vale
\varphi(g^n)=\varphi(g)^n.
Isto é verdadeiro porque para n>0 aplica-se a definição repetida de homomorfismo por indução, para n=0 ambos os lados são a identidade, e para n<0 usa-se o caso positivo e que \varphi(g^{-1})=\varphi(g)^{-1}. Em palavras: homomorfismo preserva produto e inverso, logo preserva potências inteiras.

Passo 4

Agora a prova direta de que \varphi(g) gera G'.
Tomar um elemento arbitrário x'\in G'. Como \varphi é sobrejetora (bijetora), existe x\in G tal que \varphi(x)=x'. Como G é cíclico, x pode ser escrito como uma potência de g: existe n\in\mathbb{Z} tal que x=g^n. Então, usando a propriedade do homomorfismo já explicada,
x'=\varphi(x)=\varphi(g^n)=\varphi(g)^n.
Portanto x' é uma potência inteira de \varphi(g). Como x' era um elemento arbitrário de G', concluímos que todo elemento de G' é uma potência de \varphi(g). Logo
G'=\langle \varphi(g)\rangle,
ou seja, G' é cíclico, gerado por \varphi(g).

Passo 5

Comentário adicional (útil na prova e em exames): a ordem de \varphi(g) é igual à ordem de g. Se |g|=m<\infty, então \varphi(g)^m=\varphi(g^m)=\varphi(e)=e', e minimalidade da ordem é preservada pela bijeção; se |g|=\infty então também \varphi(g) tem ordem infinita. Isso mostra que o isomorfismo não só leva geradores em geradores como preserva o tipo (finito/infinito) de gerador.

Passo 6

Recapitulando de forma simples e amigável: pegar um gerador g de G, aplicar o isomorfismo \varphi e observar que, por surjetividade, todas as imagens em G' aparecem como potências de \varphi(g). Assim, \varphi(g) gera G'.

Resposta

G' é cíclico; mais precisamente, se \varphi\colon G\to G' é um isomorfismo e G=\langle g\rangle, então G'=\langle \varphi(g)\rangle.

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