Se
e
é cíclico, mostre que
também é cíclico.
Passo 1
O enunciado diz que
e que
é cíclico. O que precisa ser mostrado é:
também é cíclico.
Informações relevantes:
- Há um isomorfismo de grupos entre
e ; isto é, existe uma aplicação que é bijetora e homomorfismo. -
é cíclico; isso significa que existe tal que .
Passo 2
Vou lembrar claramente o significado dos conceitos que vou usar (passo-a-passo, sem pular etapas):
-
Definição de grupo cíclico: Um grupo
é chamado cíclico se existe um elemento (chamado gerador) tal que todo elemento de é uma potência inteira de . Em símbolos: . Aqui significa multiplicar consigo mesmo vezes se , usar quando , e é a identidade do grupo. -
Definição de isomorfismo de grupos: Uma aplicação
é um isomorfismo se (i) é homomorfismo, isto é, para todos vale ; e (ii) é bijetora (injetora e sobrejetora). Se existe um isomorfismo, escrevemos .
Passo 3
Estabeleço a notação e o que vou provar especificamente: seja
um isomorfismo (já sabemos que existe porque
). Seja
um gerador de
, ou seja
. Quero mostrar que
gera
, isto é,
.
Antes de provar, explico por que podemos manipular potências pelo isomorfismo: como
é homomorfismo, para todo inteiro
vale
Isto é verdadeiro porque para
aplica-se a definição repetida de homomorfismo por indução, para
ambos os lados são a identidade, e para
usa-se o caso positivo e que
. Em palavras: homomorfismo preserva produto e inverso, logo preserva potências inteiras.
Passo 4
Agora a prova direta de que
gera
.
Tomar um elemento arbitrário
. Como
é sobrejetora (bijetora), existe
tal que
. Como
é cíclico,
pode ser escrito como uma potência de
: existe
tal que
. Então, usando a propriedade do homomorfismo já explicada,
Portanto
é uma potência inteira de
. Como
era um elemento arbitrário de
, concluímos que todo elemento de
é uma potência de
. Logo
ou seja,
é cíclico, gerado por
.
Passo 5
Comentário adicional (útil na prova e em exames): a ordem de
é igual à ordem de
. Se
, então
, e minimalidade da ordem é preservada pela bijeção; se
então também
tem ordem infinita. Isso mostra que o isomorfismo não só leva geradores em geradores como preserva o tipo (finito/infinito) de gerador.
Passo 6
Recapitulando de forma simples e amigável: pegar um gerador
de
, aplicar o isomorfismo
e observar que, por surjetividade, todas as imagens em
aparecem como potências de
. Assim,
gera
.