Mostre que se 
  é um conjunto linearmente dependente de vetores em um espaço vetorial 
  e se 
  é um vetor qualquer em 
 , então 
  também é linearmente dependente em 
 .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores 
  que é linearmente dependente em um espaço vetorial 
 . Além disso, temos um sexto vetor 
  qualquer em 
 . Precisamos mostrar que, mesmo adicionando esse sexto vetor, o conjunto 
  continua sendo linearmente dependente.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente e como essa propriedade se comporta quando adicionamos mais vetores ao conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Dizemos que um conjunto de vetores 
  é linearmente dependente se existe uma combinação linear desses vetores igual ao vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes na combinação não é zero. Em termos matemáticos:
onde nem todos os 
  são iguais a zero.
No nosso caso, como 
  são linearmente dependentes, existe uma combinação desses vetores que resulta no vetor zero, com pelo menos um coeficiente diferente de zero.
Passo 3
Agora, vamos considerar o conjunto aumentado que inclui o sexto vetor 
 . Queremos mostrar que esse novo conjunto 
  também é linearmente dependente.
Sabemos que se temos um conjunto linearmente dependente e adicionamos mais vetores a ele, o conjunto resultante também será linearmente dependente. Isso acontece porque a dependência já existente no conjunto original ainda está presente no conjunto aumentado.
Passo 4
Especificamente, já que 
  são linearmente dependentes, existe pelo menos uma combinação não trivial desses vetores que resulta no vetor zero. Podemos escrever isso como:
onde pelo menos um dos coeficientes 
  é diferente de zero.
Passo 5
Agora, vamos incluir o sexto vetor 
  na combinação linear. Podemos simplesmente adicionar 
  à equação acima:
Essa é uma combinação linear dos vetores 
  que resulta no vetor zero, e como pelo menos um dos coeficientes 
  (de 
  a 
 ) é diferente de zero, temos uma combinação não trivial.
Resposta
Portanto, o conjunto 
  é linearmente dependente.