Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
a) 
 .
b) 
 .
c) 
 .
d) 
 .
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item a). O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço 
  definido por:
Aqui, estamos trabalhando com subespaços vetoriais em 
 . Para encontrar os geradores, vamos precisar resolver a equação linear dada e expressar um dos vetores em termos dos outros, o que nos permitirá identificar os vetores que geram todo o subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação 
  para uma das variáveis. Vamos isolar 
 :
Agora, podemos expressar qualquer vetor em 
  como:
Isso significa que podemos escrever esse vetor como combinação linear de 
  e 
 :
Passo 3
Os vetores 
  e 
  são os vetores geradores do subespaço 
 , já que qualquer vetor em 
  pode ser obtido combinando esses dois vetores com as escalas apropriadas de 
  e 
 .
Passo 4
Vamos agora para o item b). O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço 
  definido por:
Estamos trabalhando com subespaços vetoriais em 
 . Precisamos resolver o sistema de equações para expressar algumas variáveis em termos das outras e identificar os geradores.
Passo 5
Primeiro, vamos resolver as equações:
- 
implica .  - 
implica .  
Agora, substituindo essas relações no vetor geral, temos:
Podemos escrever isso como:
Passo 6
Os vetores 
  e 
  são os geradores do subespaço 
 , pois qualquer vetor em 
  pode ser formado combinando esses dois vetores com múltiplos escalares de 
  e 
 .
Passo 7
Passando para o item c). O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço 
  definido por:
Aqui, estamos lidando com matrizes 2x2. Precisamos resolver as condições dadas para expressar as entradas da matriz em termos de variáveis livres e identificar os geradores.
Passo 8
As condições são:
- 
implica .  - 
.  
Assim, qualquer matriz em 
  tem a forma:
Podemos expressar isso como:
Passo 9
Os vetores (nesse caso, matrizes) 
  e 
  são os geradores do subespaço 
 , pois qualquer matriz em 
  pode ser formada combinando essas duas matrizes com os escalares apropriados de 
  e 
 .
Passo 10
Finalmente, vamos resolver o item d). O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o subespaço 
  definido por:
Estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2. Precisamos resolver a condição dada para expressar os coeficientes em termos de variáveis livres e identificar os geradores.
Passo 11
A condição é 
 . Vamos resolver para 
 :
Substituindo isso no polinômio, temos:
Isso mostra que qualquer polinômio em 
  pode ser escrito como uma combinação linear de 
  e 
 .
Passo 12
Os polinômios 
  e 
  são os geradores do subespaço 
 , pois qualquer polinômio em 
  pode ser formado combinando esses dois polinômios com os escalares apropriados de 
  e 
 .
Resposta
Um conjunto de geradores para 
  é: