1. Mostre que o valor médio temporal do vetor de Poynting é dado pela expressão \langle\mathbf{S}\rangle=(1 / 2) \mathbf{E}{0} \times \mathbf{H}{0}, onde \mathbf{E}=\mathfrak{R} e\left{\mathbf{E}{\mathbf{0}} \exp i(k z-\omega t)\right} e \mathbf{H}=\mathfrak{R} e\left{\mathbf{H}{0} \exp i(k z-\omega t)\right}.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que, para ondas E e H variando harmonicamente como
E(z,t)=ReE0e^i(kz-omega t), H(z,t)=ReH0e^i(kz-omega t),
o valor médio no tempo do vetor de Poynting
S(t)=E(t)timesH(t)
é
lang<=Srang<==tfrac12,E0timesH0
Isso cai em eletrodinâmica de ondas planas e uso de fasores (representação complexa). Para resolver, vamos precisar:
  1. entender como usar a parte real de exponenciais complexas;
  2. saber calcular média temporal de funções do tipo e (ou exponenciais);
  3. manipular produto vetorial.

Passo 2

Escrevendo explicitamente as partes reais:
E(t)=tfrac12l(E0e^i(kz-omega t)+E0^*e^-i(kz-omega t)r),
H(t)=tfrac12l(H0e^i(kz-omega t)+H0^*e^-i(kz-omega t)r)
Aqui usei a identidade .

Passo 3

Agora formamos o Poynting instantâneo:
S(t)=E(t)timesH(t)
Substituindo as expressões acima, a gente vai ter 4 termos, tipo
,
, etc., onde .

Passo 4

Olha só:
S(t) =tfrac14l( E0timesH0,e^2iphi +E0timesH0^* +E0^*timesH0 +E0^*timesH0^*,e^-2iphi r)
Os dois termos com vão oscilar rapidinho em e, quando você fizer a média no tempo, eles somam zero.

Passo 5

O que sobra na média temporal lang<=Srang<= =tfrac14l(E0timesH0^* +E0^*timesH0r) é só a parte constante:
lang<=Srang<= =tfrac12,E0timesH0
Mas note que .
Então isso é igual a .
Se e já forem amplitudes reais (ou estiverem em fase), cai

Resposta

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