- Mostre que o valor médio temporal do vetor de Poynting é dado pela expressão \langle\mathbf{S}\rangle=(1 / 2) \mathbf{E}{0} \times \mathbf{H}{0}, onde \mathbf{E}=\mathfrak{R} e\left{\mathbf{E}{\mathbf{0}} \exp i(k z-\omega t)\right} e \mathbf{H}=\mathfrak{R} e\left{\mathbf{H}{0} \exp i(k z-\omega t)\right}.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que, para ondas E e H variando harmonicamente como
o valor médio no tempo do vetor de Poynting
é
Isso cai em eletrodinâmica de ondas planas e uso de fasores (representação complexa). Para resolver, vamos precisar:
- entender como usar a parte real de exponenciais complexas;
- saber calcular média temporal de funções do tipo
e (ou exponenciais); - manipular produto vetorial.
Passo 2
Escrevendo explicitamente as partes reais:
Aqui usei a identidade
.
Passo 3
Agora formamos o Poynting instantâneo:
Substituindo as expressões acima, a gente vai ter 4 termos, tipo
,
, etc., onde
.
Passo 4
Olha só:
Os dois termos com
vão oscilar rapidinho em
e, quando você fizer a média no tempo, eles somam zero.
Passo 5
O que sobra na média temporal
é só a parte constante:
Mas note que
.
Então isso é igual a .
Se e
já forem amplitudes reais (ou estiverem em fase), cai
Então isso é igual a
Se