Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que
. Estamos falando da função totiente de Euler, que conta quantos números de 1 até
são coprimos com
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois números serem coprimos e como a função totiente funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. A função totiente de Euler,
, representa a quantidade de números naturais menores ou iguais a
que são coprimos com
. Dois números são coprimos se o único divisor comum deles é 1.
Passo 3
Agora, vamos observar que, no mínimo, o número 1 é sempre coprimo com qualquer
, já que o único divisor comum é 1. Portanto,
é pelo menos 1.
Passo 4
Por outro lado, o número
não é coprimo consigo mesmo, porque
divide
e, portanto, têm pelo menos o divisor
em comum. Assim, entre 1 e
, o próprio
não está incluso em
.
Passo 5
Então, estamos contando os números de 1 até
que são coprimos com
. Portanto, o máximo que
pode ser é
, caso todos os números de 1 até
sejam coprimos com
.
Passo 6
Isso significa que a função totiente nunca excede
, já que
nunca está incluído na contagem de números coprimos.
Resposta
Portanto, mostramos que
para todo número natural
.