Seja (
um grupo e
com
e
tal que
. Prove que existe um único par de elementos
tal que as condições abaixo são satisfeitas:
i)
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para provar que, dado um grupo
e um elemento
com ordem
, onde
e
e
são números que não têm nenhum divisor comum além de 1 (ou seja,
). Precisamos mostrar que existem exatamente dois elementos
e
em
tal que:
i) A ordem de
é
e a ordem de
é
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de grupos, como a ordem de um elemento e propriedades de grupos finitos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a ordem de um elemento em um grupo. A ordem de um elemento
em
, denotada por
, é o menor número positivo
tal que
, onde
é o elemento neutro do grupo.
No nosso caso,
. Como
e
são coprimos (ou seja,
), sabemos por um resultado da teoria de grupos que podemos decompor
em dois elementos com ordens
e
.
Passo 3
Vamos construir os elementos
e
. Sabendo que
e
, podemos usar o fato de que existe um único elemento em um grupo cyclico com ordem
que é a potência adequada de
.
Definimos:
Vamos verificar as ordens de
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar a ordem de
.
Sabemos que:
Como
e
, temos:
Portanto:
Então,
como queríamos.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a ordem de
.
Analogamente:
Novamente, com
e
:
Assim:
Então,
, conforme a condição.
Passo 6
Agora, precisamos garantir que os elementos
e
são únicos com essas propriedades. Suponha que existam outros elementos
e
em
tais que
e
.
Como
, qualquer elemento com ordem
deve ser uma potência específica de
, e o mesmo vale para elementos com ordem
. Portanto,
e
devem coincidir com
e
, respectivamente.
Dessa forma, os elementos
e
que construímos são únicos.
Resposta
Existe um único par de elementos
definidos por
e
, com ordens
e
.