Mostre que se
então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se a função
depende apenas de
(ou seja,
), então o gradiente dessa função é igual a
multiplicado pela derivada de
em relação a
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente em coordenadas esféricas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função escalar. O gradiente aponta na direção de maior variação da função e sua magnitude indica o quanto a função varia nessa direção. Em coordenadas cartesianas, o gradiente de
é dado por:
Mas como nossa função
depende apenas de
, que é a distância ao ponto
, podemos simplificar isso usando coordenadas esféricas.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, onde
, o gradiente de uma função que depende apenas de
é dado por:
Aqui,
é o vetor unitário na direção de
, que pode ser expresso como
, onde
é o vetor posição
.
Passo 4
Então, substituindo
por
, temos:
Isso mostra exatamente o que o enunciado pediu: que o gradiente de
é igual a
multiplicado pela derivada de
em relação a
.
Resposta
Assim, demonstramos que se
, então: