Mostre que se varphi=varphi(r) então
nabla varphi(r)=rr d varphi(r)d r

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se a função depende apenas de (ou seja, ), então o gradiente dessa função é igual a multiplicado pela derivada de em relação a . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente em coordenadas esféricas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função escalar. O gradiente aponta na direção de maior variação da função e sua magnitude indica o quanto a função varia nessa direção. Em coordenadas cartesianas, o gradiente de nabla varphi = partial varphipartial xi + partial varphipartial yj + partial varphipartial zk é dado por:
Mas como nossa função depende apenas de , que é a distância ao ponto , podemos simplificar isso usando coordenadas esféricas.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, onde nabla varphi = d varphid r r , o gradiente de uma função que depende apenas de é dado por:
Aqui, é o vetor unitário na direção de , que pode ser expresso como , onde é o vetor posição .

Passo 4

Então, substituindo nabla varphi = d varphid r cdot rr por , temos:
Isso mostra exatamente o que o enunciado pediu: que o gradiente de é igual a multiplicado pela derivada de em relação a .

Resposta

Assim, demonstramos que se nabla varphi(r) = rr d varphi(r)d r , então:

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