I* - Mostre que Y(\vec{r}, t), dado por (10.11), satisfaz a equação geral do movimento ondulatório, relação (10.3).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que Y(\vec{r},t), dado por (10.11), satisfaz a equação geral do movimento ondulatório, relação (10.3).
Vou tomar a forma usual e mais geral que aparece em (10.11), que é uma onda plana dependente de uma única combinação linear das coordenadas espaciais e do tempo:
Y(\vec{r},t)=f\bigl(u\bigr), \qquad\text{onde}\qquad u=\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t.
Aqui:
  • \vec{r}=(x,y,z) é o vetor posição;
  • \vec{k}=(k_x,k_y,k_z) é o vetor de onda;
  • \omega é a frequência angular;
  • f é uma função qualquer suficientemente suave (duas vezes diferenciável) de um argumento escalar u.
A equação geral do movimento ondulatório (10.3) que queremos verificar tem a forma padrão do problema:
\nabla^{2}Y(\vec{r},t)=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}Y(\vec{r},t)}{\partial t^{2}},
onde v é a velocidade da onda (uma constante). O objetivo é mostrar que a função Y(\vec r,t)=f(\vec k\cdot\vec r-\omega t) satisfaz essa equação, e então obter a condição que relaciona \omega, \vec{k} e v.

Passo 2

Explicar e aplicar a regra da cadeia (muito importante aqui).
Regra da cadeia (versão que usaremos): se Y(\vec r,t)=f(u(\vec r,t)) com u escalar, então as derivadas parciais de Y são obtidas multiplicando a derivada de f pela derivada de u. Denotando f'(u)=\dfrac{df}{du} e f''(u)=\dfrac{d^{2}f}{du^{2}}, temos por exemplo
\frac{\partial Y}{\partial x} = f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial^{2} Y}{\partial x^{2}} = f''(u)\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2} + f'(u)\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}.
No nosso caso u=\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t = k_x x + k_y y + k_z z - \omega t. Assim:
\frac{\partial u}{\partial x}=k_x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=k_y,\qquad \frac{\partial u}{\partial z}=k_z,
e todas as segundas derivadas espaciais de u são zero:
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}= \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}= \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}=0.

Passo 3

Calcular as derivadas espaciais até obter a laplaciana \nabla^{2}Y.
Pela regra da cadeia e pelos valores de \partial u/\partial x_i acima, para cada coordenada x_i (com x_1=x, x_2=y, x_3=z):
\frac{\partial Y}{\partial x_i}=k_i\,f'(u).
Tomando a segunda derivada em x_i:
\frac{\partial^{2}Y}{\partial x_i^{2}}=k_i^{2}\,f''(u),
pois o termo com f'(u)\frac{\partial^{2}u}{\partial x_i^{2}} é zero (já que \partial^{2}u/\partial x_i^{2}=0).
Somando sobre i=1,2,3 para obter a laplaciana:
\nabla^{2}Y=\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial^{2}Y}{\partial x_i^{2}}=\bigl(k_x^{2}+k_y^{2}+k_z^{2}\bigr)\,f''(u)=\lVert\vec{k}\rVert^{2}\,f''(u).
Aqui \lVert\vec{k}\rVert^{2}=|\vec{k}|^{2}=k_x^{2}+k_y^{2}+k_z^{2}.

Passo 4

Calcular a segunda derivada temporal \dfrac{\partial^{2}Y}{\partial t^{2}}.
Aplicando a regra da cadeia em relação a t:
\frac{\partial u}{\partial t}=-\omega, \qquad \frac{\partial Y}{\partial t}=f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial t}=-\omega\,f'(u).
Derivando novamente:
\frac{\partial^{2}Y}{\partial t^{2}} = -\omega\frac{\partial}{\partial t}\bigl(f'(u)\bigr) = -\omega\bigl(f''(u)\bigr)\frac{\partial u}{\partial t} = -\omega\bigl(f''(u)\bigr)(-\omega)=\omega^{2}\,f''(u).

Passo 5

Comparar \nabla^{2}Y e \dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}Y}{\partial t^{2}} e extrair a condição necessária.
Temos:
\nabla^{2}Y=\lVert\vec{k}\rVert^{2}\,f''(u), \qquad \frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}Y}{\partial t^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\omega^{2}\,f''(u).
Para que a equação de onda
\nabla^{2}Y=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}Y}{\partial t^{2}}
seja válida para qualquer argumento u (isto é, para qualquer valor da função f e suas derivadas), devemos ter
\lVert\vec{k}\rVert^{2}\,f''(u)=\frac{\omega^{2}}{v^{2}}\,f''(u).
Se f for arbitrária (exceto caminhos degenerate onde f''\equiv0), podemos cancelar f''(u) e obtemos a condição de dispersão
\omega^{2}=v^{2}\lVert\vec{k}\rVert^{2}, \quad\text{ou seja}\quad \omega = v\lVert\vec{k}\rVert.
Portanto, sempre que \omega = v|\vec{k}|, a função Y(\vec r,t)=f(\vec k\cdot\vec r-\omega t) satisfaz a equação de onda. (Se f''\equiv0 a função é linear em u e ainda assim as expressões anteriores se compatibilizam; isso corresponde a casos triviais.)

Passo 6

Comentário prático e exemplo concreto (ajuda para a prova).
  • No caso muito comum em provas, f é uma função harmônica, por exemplo f(u)=A\cos(u+\varphi). Então f''(u)=-A\cos(u+\varphi)=-f(u) e o cálculo acima se reduz às mesmas igualdades, com a mesma condição \omega^{2}=v^{2}\lVert\vec{k}\rVert^{2}. Assim a onda harmônica plana
Y(\vec r,t)=A\cos\bigl(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\varphi\bigr)
satisfa a equação de onda se e somente se \omega=v\lVert\vec{k}\rVert.
  • Dica para prova: faça os passos na ordem (definir u, aplicar cadeia para derivadas espaciais e temporais, calcular \nabla^{2}Y e \partial^{2}Y/\partial t^{2}, comparar). Anote sempre que f'(u) e f''(u) são derivadas de f em relação ao argumento u.

Resposta

A função Y(\vec{r},t)=f(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t) satisfaz a equação \nabla^{2}Y=\dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}Y}{\partial t^{2}} desde que \omega^{2}=v^{2}\lVert\vec{k}\rVert^{2} (ou equivalentemente \omega=v\lVert\vec{k}\rVert).

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