I* - Mostre que
, dado por (10.11), satisfaz a equação geral do movimento ondulatório, relação (10.3).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
, dado por (10.11), satisfaz a equação geral do movimento ondulatório, relação (10.3).
Vou tomar a forma usual e mais geral que aparece em (10.11), que é uma onda plana dependente de uma única combinação linear das coordenadas espaciais e do tempo:
Aqui:
-
é o vetor posição; -
é o vetor de onda; -
é a frequência angular; -
é uma função qualquer suficientemente suave (duas vezes diferenciável) de um argumento escalar .
A equação geral do movimento ondulatório (10.3) que queremos verificar tem a forma padrão do problema:
onde
é a velocidade da onda (uma constante). O objetivo é mostrar que a função
satisfaz essa equação, e então obter a condição que relaciona
,
e
.
Passo 2
Explicar e aplicar a regra da cadeia (muito importante aqui).
Regra da cadeia (versão que usaremos): se
com
escalar, então as derivadas parciais de
são obtidas multiplicando a derivada de
pela derivada de
. Denotando
e
, temos por exemplo
No nosso caso
. Assim:
e todas as segundas derivadas espaciais de
são zero:
Passo 3
Calcular as derivadas espaciais até obter a laplaciana
.
Pela regra da cadeia e pelos valores de
acima, para cada coordenada
(com
):
Tomando a segunda derivada em
:
pois o termo com
é zero (já que
).
Somando sobre
para obter a laplaciana:
Aqui
.
Passo 4
Calcular a segunda derivada temporal
.
Aplicando a regra da cadeia em relação a
:
Derivando novamente:
Passo 5
Comparar
e
e extrair a condição necessária.
Temos:
Para que a equação de onda
seja válida para qualquer argumento
(isto é, para qualquer valor da função
e suas derivadas), devemos ter
Se
for arbitrária (exceto caminhos degenerate onde
), podemos cancelar
e obtemos a condição de dispersão
Portanto, sempre que
, a função
satisfaz a equação de onda. (Se
a função é linear em
e ainda assim as expressões anteriores se compatibilizam; isso corresponde a casos triviais.)
Passo 6
Comentário prático e exemplo concreto (ajuda para a prova).
- No caso muito comum em provas,
é uma função harmônica, por exemplo . Então e o cálculo acima se reduz às mesmas igualdades, com a mesma condição . Assim a onda harmônica plana
satisfa a equação de onda se e somente se
.
- Dica para prova: faça os passos na ordem (definir
, aplicar cadeia para derivadas espaciais e temporais, calcular e , comparar). Anote sempre que e são derivadas de em relação ao argumento .
Resposta
A função
satisfaz a equação
desde que
(ou equivalentemente
).