Mostre que para vetores LD podemos ter combinações lineares iguais com escalares distintos.

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre: se v_1,\dots,v_n são linearmente dependentes, então há duas combinações lineares iguais que usam conjuntos de escalares diferentes. Para isso, vamos usar a definição de dependência linear e a combinação trivial.

Passo 2

Pela definição, v_1,\dots,v_n são linearmente dependentes se existem escalares \alpha_1,\dots,\alpha_n, não todos zero, tais que
\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\cdots+\alpha_nv_n=0.

Passo 3

Por outro lado, sempre existe a combinação trivial em que todos os escalares são zero:
0\cdot v_1+0\cdot v_2+\cdots+0\cdot v_n=0.

Passo 4

Como o vetor de escalares (\alpha_1,\dots,\alpha_n) é diferente de (0,\dots,0), mas ambas as combinações produzem o mesmo vetor zero, concluímos que há duas combinações lineares iguais com conjuntos de escalares distintos.

Resposta

Basta tomar como primeira combinação
\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i=0
com algum \alpha_i\neq0, e como segunda combinação
\sum_{i=1}^n0\cdot v_i=0.
Elas são iguais, mas usam escalares diferentes.

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