Mostre que para vetores LD podemos ter combinações lineares iguais com escalares distintos.
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre: se
são linearmente dependentes, então há duas combinações lineares iguais que usam conjuntos de escalares diferentes. Para isso, vamos usar a definição de dependência linear e a combinação trivial.
Passo 2
Pela definição,
são linearmente dependentes se existem escalares
, não todos zero, tais que
Passo 3
Por outro lado, sempre existe a combinação trivial em que todos os escalares são zero:
Passo 4
Como o vetor de escalares
é diferente de
, mas ambas as combinações produzem o mesmo vetor zero, concluímos que há duas combinações lineares iguais com conjuntos de escalares distintos.
Resposta
Basta tomar como primeira combinação
com algum
, e como segunda combinação
Elas são iguais, mas usam escalares diferentes.