4- Mostre que os vetores \mathrm{v} 1=(1,0,2,-1), \mathrm{v} 2=(2,2,-3,4) e v3 = (7,4, 0, 5) são linearmente dependentes. Determine uma base para o subespaço de R4 gerado por estes vetores.Qual é a dimensão deste subespaço?

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^4:
v_1=(1,0,2,-1),\qquad v_2=(2,2,-3,4),\qquad v_3=(7,4,0,5).
Pede três coisas:
  • Mostrar que v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes.
  • Determinar uma base para o subespaço de \mathbb{R}^4 gerado por esses vetores (ou seja, uma base de \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}).
  • Determinar a dimensão desse subespaço.

Passo 2

O que significa “linearmente dependentes”? Vou explicar devagarinho: os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes se existem escalares a,b,c, não todos nulos, tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = 0,
onde 0 é o vetor zero em \mathbb{R}^4. Mostrar dependência é encontrar esses a,b,c explícitos (ou mostrar que uma das combinações é uma combinação linear das outras).

Passo 3

Escrevemos a equação vetorial componente a componente. Se
a v_1 + b v_2 + c v_3 = 0,
então, compondo, obtemos o sistema linear
\begin{cases} a + 2b + 7c = 0,\\[4pt] 0a + 2b + 4c = 0,\\[4pt] 2a -3b + 0c = 0,\\[4pt] - a + 4b + 5c = 0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema de forma direta, passo a passo.]

Passo 4

Da segunda equação temos
2b + 4c = 0 \quad\Rightarrow\quad b + 2c = 0 \quad\Rightarrow\quad b = -2c.
Substituo b=-2c na terceira equação:
2a - 3b = 0 \quad\Rightarrow\quad 2a - 3(-2c)=0 \quad\Rightarrow\quad 2a + 6c =0 \quad\Rightarrow\quad a = -3c.
Portanto, em função de c temos a=-3c e b=-2c.

Passo 5

Agora verifico as primeiras e quarta equações com essas expressões para garantir consistência. Substituindo em \;a + 2b + 7c\;
(-3c) + 2(-2c) + 7c = -3c -4c +7c = 0.
Substituindo em \;-a + 4b + 5c\;
-(-3c) + 4(-2c) + 5c = 3c -8c +5c = 0.
Ambas são satisfeitas para qualquer c. Isso mostra que há infinitas soluções do tipo (a,b,c)=(-3c,-2c,c). Como há solução não-trivial (por exemplo escolher c=1), os vetores são linearmente dependentes.

Passo 6

Escolhendo c=1 obtemos explicitamente a combinação
-3v_1 - 2v_2 + 1v_3 = 0,
ou reorganizando,
v_3 = 3v_1 + 2v_2.
Isto é muito útil: mostra que v_3 é combinação linear de v_1 e v_2. Logo
\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\} = \operatorname{span}\{v_1,v_2\}.

Passo 7

Agora preciso verificar se v_1\) e \(v_2\) são linearmente independentes. Para isso, suponho que existam \(\alpha,\beta\) tais que \[\alpha v_1 + \beta v_2 = 0.
Escrevendo por componentes:
\begin{cases} \alpha + 2\beta = 0,\\[4pt] 0\alpha + 2\beta = 0,\\[4pt] 2\alpha -3\beta = 0,\\[4pt] - \alpha + 4\beta = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem 2\beta = 0\Rightarrow \beta = 0\]. Com \(\beta=0, a primeira dá \alpha = 0. Assim \alpha=\beta=0 é a única solução, logo v_1 e v_2 são linearmente independentes.]

Passo 8

Como v_1 e v_2 são independentes e geram o mesmo subespaço que \{v_1,v_2,v_3\}, eles formam uma base para esse subespaço. Uma base conveniente é
\{\,v_1,v_2\,\}=\{(1,0,2,-1),(2,2,-3,4)\}.
A dimensão do subespaço é o número de vetores na base, então a dimensão é 2.

Passo 9

Resumo conceitual rápido (para a prova): se um vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros (aqui v_3=3v_1+2v_2), o conjunto é linearmente dependente. Removendo vetores redundantes e checando independência entre os restantes obtém-se uma base e a dimensão é o número de vetores dessa base. Força: essa técnica (escrever equação a_1 v_1+\dots+a_k v_k=0 e resolver) é a maneira padrão e rápida na prova.

Resposta

v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes, pois -3v_1-2v_2+v_3=0 (ou v_3=3v_1+2v_2).
Uma base para o subespaço gerado é \{v_1,v_2\}=\{(1,0,2,-1),(2,2,-3,4)\}.
A dimensão desse subespaço é 2.

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