4- Mostre que os vetores \mathrm{v} 1=(1,0,2,-1), \mathrm{v} 2=(2,2,-3,4) e v3 = (7,4, 0, 5) são linearmente dependentes. Determine uma base para o subespaço de R4 gerado por estes vetores.Qual é a dimensão deste subespaço?
Mostrar que v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes.
Determinar uma base para o subespaço de \mathbb{R}^4 gerado por esses vetores (ou seja, uma base de \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}).
Determinar a dimensão desse subespaço.
Passo 2
O que significa “linearmente dependentes”? Vou explicar devagarinho: os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes se existem escalares a,b,c, não todos nulos, tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = 0,
onde 0 é o vetor zero em \mathbb{R}^4. Mostrar dependência é encontrar esses a,b,c explícitos (ou mostrar que uma das combinações é uma combinação linear das outras).
Passo 3
Escrevemos a equação vetorial componente a componente. Se
Agora verifico as primeiras e quarta equações com essas expressões para garantir consistência. Substituindo em \;a + 2b + 7c\; dá
(-3c) + 2(-2c) + 7c = -3c -4c +7c = 0.
Substituindo em \;-a + 4b + 5c\; dá
-(-3c) + 4(-2c) + 5c = 3c -8c +5c = 0.
Ambas são satisfeitas para qualquer c. Isso mostra que há infinitas soluções do tipo (a,b,c)=(-3c,-2c,c). Como há solução não-trivial (por exemplo escolher c=1), os vetores são linearmente dependentes.
Passo 6
Escolhendo c=1 obtemos explicitamente a combinação
-3v_1 - 2v_2 + 1v_3 = 0,
ou reorganizando,
v_3 = 3v_1 + 2v_2.
Isto é muito útil: mostra que v_3 é combinação linear de v_1 e v_2. Logo
Agora preciso verificar se v_1\) e \(v_2\) são linearmente independentes. Para isso, suponho que existam \(\alpha,\beta\) tais que
\[\alpha v_1 + \beta v_2 = 0.
Da segunda equação vem 2\beta = 0\Rightarrow \beta = 0\]. Com \(\beta=0, a primeira dá \alpha = 0. Assim \alpha=\beta=0 é a única solução, logo v_1 e v_2 são linearmente independentes.]
Passo 8
Como v_1 e v_2 são independentes e geram o mesmo subespaço que \{v_1,v_2,v_3\}, eles formam uma base para esse subespaço. Uma base conveniente é
\{\,v_1,v_2\,\}=\{(1,0,2,-1),(2,2,-3,4)\}.
A dimensão do subespaço é o número de vetores na base, então a dimensão é 2.
Passo 9
Resumo conceitual rápido (para a prova): se um vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros (aqui v_3=3v_1+2v_2), o conjunto é linearmente dependente. Removendo vetores redundantes e checando independência entre os restantes obtém-se uma base e a dimensão é o número de vetores dessa base. Força: essa técnica (escrever equação a_1 v_1+\dots+a_k v_k=0 e resolver) é a maneira padrão e rápida na prova.
Resposta
v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes, pois -3v_1-2v_2+v_3=0 (ou v_3=3v_1+2v_2).
Uma base para o subespaço gerado é \{v_1,v_2\}=\{(1,0,2,-1),(2,2,-3,4)\}.
A dimensão desse subespaço é 2.