2- Dados os vetores

\mathrm{V} 1=(2,1,3) \mathrm{e}
V2 =(2,6,4) :
(a) Os vetores V1 e V2 geram R3? Justifique.
(b) Seja V3 um terceiro vetor de R3. Quais são as condições sobre V3 para que o conjunto \{\mathrm{V} 1, \mathrm{~V} 2, \mathrm{~V} 3\} seja uma base de R3?

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores no \mathbb{R}^3:
  • \mathrm{V}1 = (2,1,3),
  • \mathrm{V}2 = (2,6,4).
As perguntas são:
(a) Os vetores \mathrm{V}1 e \mathrm{V}2 geram \mathbb{R}^3? Justifique.
(b) Seja \mathrm{V}3 um vetor arbitrário de \mathbb{R}^3. Quais condições sobre \mathrm{V}3 fazem com que \{\mathrm{V}1,\mathrm{V}2,\mathrm{V}3\} seja uma base de \mathbb{R}^3?

Passo 2

Conceitos chave (rápido e prático, para usar na prova):
  • O span (ou combinação linear) de um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Se os vetores geram \mathbb{R}^3, suas combinações lineares cobrem todo \mathbb{R}^3.
  • Uma base de \mathbb{R}^3 é um conjunto de exatamente três vetores que são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3.
  • Três vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes se, e somente se, a matriz que tem esses vetores como colunas (ou linhas) tem determinante diferente de zero.
Vou usar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Resposta à parte (a) — argumento teórico aplicado:
  • Em \mathbb{R}^3 são necessários pelo menos três vetores linearmente independentes para gerar todo o espaço (pois \dim(\mathbb{R}^3)=3). Dois vetores podem gerar no máximo um subespaço de dimensão 2 (um plano) ou dimensão 1 (uma reta).
  • Portanto, salvo caso muito estranho (impossível aqui), dois vetores não geram \mathbb{R}^3. Mas convém verificar se \mathrm{V}1 e \mathrm{V}2 são proporcionais (caso fossem proporcionais gerariam só uma reta). Se não são proporcionais, geram um plano (dimensão 2).

Passo 4

Verificação direta de independência entre \mathrm{V}1\) e \(\mathrm{V}2\) (útil para justificar que geram um plano, não uma reta). Suponha que exista \(a,b\in\mathbb{R}\) tais que \[a\mathrm{V}1 + b\mathrm{V}2 = (0,0,0).
Isso dá o sistema (compondo coordenadas):
\begin{cases} 2a + 2b = 0,\\[4pt] a + 6b = 0,\\[4pt] 3a + 4b = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem a + b = 0\], ou seja \(a=-b. Substituindo na segunda:
(-b) + 6b = 0 \;\Rightarrow\; 5b = 0 \;\Rightarrow\; b = 0,
e então a=0. Assim a única solução é a=b=0, portanto \mathrm{V}1 e \mathrm{V}2 são linearmente independentes e não são proporcionais. Conclusão prática: elas geram um subespaço de dimensão 2 (um plano), não todo \mathbb{R}^3.]

Passo 5

Conclusão da parte (a):
  • Como explicado, dois vetores não bastam para gerar \mathbb{R}^3; aqui \mathrm{V}1 e \mathrm{V}2 são independentes, então geram um plano (dimensão 2). Logo, \mathrm{V}1 e \mathrm{V}2 não geram \mathbb{R}^3.

Passo 6

Agora a parte (b): condições para \{\mathrm{V}1,\mathrm{V}2,\mathrm{V}3\} ser uma base.
  • Por definição, três vetores serão base de \mathbb{R}^3 se são linearmente independentes (isso já garante que geram \mathbb{R}^3 porque a dimensão é 3).
  • Uma maneira prática de verificar independência de três vetores é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, são independentes; se for zero, são dependentes.

Passo 7

Aplicando ao caso concreto: escreva \mathrm{V}3=(x,y,z) e forme a matriz com colunas \mathrm{V}1,\mathrm{V}2,\mathrm{V}3:
A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & x\\[4pt] 1 & 6 & y\\[4pt] 3 & 4 & z \end{pmatrix}.
Calcular o determinante de A. Usando a regra de Sarrus / expansão por primeira linha:
\det(A) =2\cdot\det\begin{pmatrix}6 & y\\[4pt]4 & z\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & y\\[4pt]3 & z\end{pmatrix} +x\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 6\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}.
Agora calculamos cada menor:
\det\begin{pmatrix}6 & y\\[4pt]4 & z\end{pmatrix}=6z-4y,
\det\begin{pmatrix}1 & y\\[4pt]3 & z\end{pmatrix}=z-3y,
\det\begin{pmatrix}1 & 6\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-3\cdot6=4-18=-14.
Substituindo:
\det(A)=2(6z-4y)-2(z-3y)+x(-14).
Simplificando termo a termo:
\det(A)=12z-8y-2z+6y-14x =10z-2y-14x.
Fatorando um -2 (ou 2):
\det(A)=-2\bigl(7x+y-5z\bigr).]

Passo 8

Interpretação e condição final:
  • Os três vetores formam uma base de \mathbb{R}^3 se, e somente se, \det(A)\neq 0.
  • Como \det(A)=-2(7x+y-5z), isto equivale a
7x + y - 5z \neq 0.
  • Em termos geométricos: \mathrm{V}3 não deve pertencer ao plano \text{span}\{\mathrm{V}1,\mathrm{V}2\}. Se 7x+y-5z=0, então \mathrm{V}3 está no mesmo plano e os três vetores são linearmente dependentes (não formam base). Se 7x+y-5z\neq 0, então \mathrm{V}3 acrescenta uma direção nova e o conjunto forma uma base.

Passo 9

Exemplos rápidos (para fixar e usar na prova):
  • Vetor que não funciona (fica no plano): \mathrm{V}3=\mathrm{V}1+\mathrm{V}2=(4,7,7). Verificação: 7\cdot4+7-5\cdot7=28+7-35=0 → determinante zero → não é base.
  • Vetor que funciona: \mathrm{V}3=(0,0,1). Verificação: 7\cdot0+0-5\cdot1=-5\neq0 → determinante não nulo → é base.

Resposta

(a) Não. \mathrm{V}1 e \mathrm{V}2 são linearmente independentes, mas dois vetores geram no máximo um subespaço de dimensão 2 (um plano), logo não geram \mathbb{R}^3.\n(b) Se \mathrm{V}3=(x,y,z), então \{\mathrm{V}1,\mathrm{V}2,\mathrm{V}3\} é base de \mathbb{R}^3 se, e somente se, \;7x+y-5z\neq0.

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