\mathrm{V} 1=(2,1,3) \mathrm{e}
V2 =(2,6,4) :
(a) Os vetores V1 e V2 geram R3? Justifique.
(b) Seja V3 um terceiro vetor de R3. Quais são as condições sobre V3 para que o conjunto \{\mathrm{V} 1, \mathrm{~V} 2, \mathrm{~V} 3\} seja uma base de R3?
Passo 1
O enunciado nos dá os vetores no \mathbb{R}^3:
\mathrm{V}1 = (2,1,3),
\mathrm{V}2 = (2,6,4).
As perguntas são:
(a) Os vetores \mathrm{V}1 e \mathrm{V}2 geram \mathbb{R}^3? Justifique.
(b) Seja \mathrm{V}3 um vetor arbitrário de \mathbb{R}^3. Quais condições sobre \mathrm{V}3 fazem com que \{\mathrm{V}1,\mathrm{V}2,\mathrm{V}3\} seja uma base de \mathbb{R}^3?
Passo 2
Conceitos chave (rápido e prático, para usar na prova):
O span (ou combinação linear) de um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Se os vetores geram \mathbb{R}^3, suas combinações lineares cobrem todo \mathbb{R}^3.
Uma base de \mathbb{R}^3 é um conjunto de exatamente três vetores que são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3.
Três vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes se, e somente se, a matriz que tem esses vetores como colunas (ou linhas) tem determinante diferente de zero.
Vou usar essas ideias passo a passo.
Passo 3
Resposta à parte (a) — argumento teórico aplicado:
Em \mathbb{R}^3 são necessários pelo menos três vetores linearmente independentes para gerar todo o espaço (pois \dim(\mathbb{R}^3)=3). Dois vetores podem gerar no máximo um subespaço de dimensão 2 (um plano) ou dimensão 1 (uma reta).
Portanto, salvo caso muito estranho (impossível aqui), dois vetores não geram \mathbb{R}^3. Mas convém verificar se \mathrm{V}1 e \mathrm{V}2 são proporcionais (caso fossem proporcionais gerariam só uma reta). Se não são proporcionais, geram um plano (dimensão 2).
Passo 4
Verificação direta de independência entre \mathrm{V}1\) e \(\mathrm{V}2\) (útil para justificar que geram um plano, não uma reta).
Suponha que exista \(a,b\in\mathbb{R}\) tais que
\[a\mathrm{V}1 + b\mathrm{V}2 = (0,0,0).
e então a=0. Assim a única solução é a=b=0, portanto \mathrm{V}1 e \mathrm{V}2 são linearmente independentes e não são proporcionais. Conclusão prática: elas geram um subespaço de dimensão 2 (um plano), não todo \mathbb{R}^3.]
Passo 5
Conclusão da parte (a):
Como explicado, dois vetores não bastam para gerar \mathbb{R}^3; aqui \mathrm{V}1 e \mathrm{V}2 são independentes, então geram um plano (dimensão 2). Logo, \mathrm{V}1 e \mathrm{V}2 não geram \mathbb{R}^3.
Passo 6
Agora a parte (b): condições para \{\mathrm{V}1,\mathrm{V}2,\mathrm{V}3\} ser uma base.
Por definição, três vetores serão base de \mathbb{R}^3 se são linearmente independentes (isso já garante que geram \mathbb{R}^3 porque a dimensão é 3).
Uma maneira prática de verificar independência de três vetores é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, são independentes; se for zero, são dependentes.
Passo 7
Aplicando ao caso concreto: escreva \mathrm{V}3=(x,y,z) e forme a matriz com colunas \mathrm{V}1,\mathrm{V}2,\mathrm{V}3:
Os três vetores formam uma base de \mathbb{R}^3 se, e somente se, \det(A)\neq 0.
Como \det(A)=-2(7x+y-5z), isto equivale a
7x + y - 5z \neq 0.
Em termos geométricos: \mathrm{V}3 não deve pertencer ao plano \text{span}\{\mathrm{V}1,\mathrm{V}2\}. Se 7x+y-5z=0, então \mathrm{V}3 está no mesmo plano e os três vetores são linearmente dependentes (não formam base). Se 7x+y-5z\neq 0, então \mathrm{V}3 acrescenta uma direção nova e o conjunto forma uma base.
Passo 9
Exemplos rápidos (para fixar e usar na prova):
Vetor que não funciona (fica no plano): \mathrm{V}3=\mathrm{V}1+\mathrm{V}2=(4,7,7). Verificação: 7\cdot4+7-5\cdot7=28+7-35=0 → determinante zero → não é base.
Vetor que funciona: \mathrm{V}3=(0,0,1). Verificação: 7\cdot0+0-5\cdot1=-5\neq0 → determinante não nulo → é base.
Resposta
(a) Não. \mathrm{V}1 e \mathrm{V}2 são linearmente independentes, mas dois vetores geram no máximo um subespaço de dimensão 2 (um plano), logo não geram \mathbb{R}^3.\n(b) Se \mathrm{V}3=(x,y,z), então \{\mathrm{V}1,\mathrm{V}2,\mathrm{V}3\} é base de \mathbb{R}^3 se, e somente se, \;7x+y-5z\neq0.