Mostre que os vetores 
  e 
  formam uma base de 
 . Exprima cada 
  dos vetores 
  e 
  como combinação linear dos elementos dessa base.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para a gente mostrar que os vetores 
  e 
  formam uma base do espaço 
 . Além disso, precisamos expressar os vetores canônicos 
  e 
  como combinações lineares desses dois vetores. Para isso, vamos usar conceitos de independência linear, geração do espaço e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma base. Uma base de 
  é um conjunto de dois vetores que são lineares independentes e que geram todo o espaço. Isso quer dizer que qualquer vetor em 
  pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Passo 3
Vamos verificar se os vetores 
  e 
  são linearmente independentes. Para isso, precisamos ver se a única solução para a equação 
  é 
  e 
 .
Escrevendo isso em componentes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: 
 .
Substituindo na segunda equação: 
 .
Então, 
  também. Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que 
  e 
  geram todo o espaço 
 . Como já mostramos que são dois vetores linearmente independentes em 
 , automaticamente eles geram o espaço todo.
Isso porque em um espaço vetorial, se você tem 
  vetores linearmente independentes em 
 , eles formam uma base.
Passo 5
Agora que estabelecemos que 
  e 
  formam uma base de 
 , vamos expressar os vetores canônicos 
  e 
  como combinações lineares desses vetores.
Ou seja, queremos encontrar números 
 , 
 , 
  e 
  tais que:
Passo 6
Vamos começar com 
 :
Isso dá o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 7
Agora, vamos fazer o mesmo para 
 :
Isso resulta no sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Resposta
Os vetores 
  e 
  formam uma base de 
 . Além disso, os vetores canônicos podem ser expressos como: